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Sistema de numeración:
Consideraciones acerca de su enseñanza1
Flavia Terigi *
Susana Wolman **
SÍNTESIS: La enseñanza de la matemática
ocupa un lugar estratégico en la trayectoria escolar diseñada
por los currículos de todos los países. En el inicio
de la formación matemática escolar, el sistema de
numeración es el elemento clave. Este artículo analiza
las maneras en que la enseñanza usual del sistema de numeración
puede estar contribuyendo a la producción de fracaso escolar,
y considera las condiciones que deben reunir las propuestas de
enseñanza a fin de colocar a los niños en una posición
de creciente dominio en esta herramienta cultural.
SÍNTESE: O ensino da matemática ocupa um
lugar estratégico na trajetória escolar projetada
por currículos de todos os países. No início
da formação matemática escolar, o sistema
de numeração é o elemento-chave. Este artigo
analisa a maneira como o ensino usual do sistema de numeração
poderá estar contribuindo para a produção
de fracasso escolar, e considera as condições que
devem reunir as diversas propostas de ensino, a fim de colocar
a criança em uma posição de crescente domínio
desta ferramenta cultural.
ABSTRACT: Instruction in mathematics plays a strategic
role in courses of study designed by all countries' curricula.
During the early phases of mathematics training, the number system
is the key item. This paper analyzes the different ways in which
common number system teaching could be contributing to school
failure, and takes into consideration the characteristics that
teaching proposals ought to possess in order to put children in
a position of growing mastery of this cultural tool.
1. El sistema de numeración en las trayectorias formativas
de los sistemas escolares
Retrospectivamente, la segunda mitad del siglo XX fue un período
excepcionalmente notable en cuanto al crecimiento de la escolarización
de masas (Benavot, 2002; Esteve, 2006). Pero ese crecimiento convive
con la evidencia de resultados socialmente desiguales, un hecho
firmemente establecido en todas partes en el mundo (Connell, 1993;
Rodríguez, 2002). Las investigaciones de los especialistas
y los análisis de los organismos de cooperación señalan
tanto las dificultades persistentes de los sectores pobres para
ingresar y permanecer en el sistema, como las diferencias en los
aprendizajes a los que pueden acceder.
La situación educativa en América
Latina no escapa a estas consideraciones. El análisis realizado
por SITEAL2 permite constatar que se ha producido un aumento de
los años de estudio de los jóvenes entre 18 y 24 años,
pero que ese incremento no ha favorecido más a los provenientes
de hogares de menor nivel socio-económico sino que, por el
contrario, el aumento se muestra dependiente del nivel educativo
alcanzado por los adultos, de modo que se verifica la persistencia
del proceso de transmisión intergeneracional de las desigualdades
educativas (SITEAL, a)2. Aunque los datos muestran
avances importantes de los países de la región en
el acceso de la población infantil a la enseñanza
primaria3, también reflejan su dificultad
para permanecer en el sistema y avanzar en su escolaridad; son importantes
las cantidades de niños que, a poco de iniciar su escolaridad,
ya se encuentran en situación de rezago educativo (ver tabla
1),
TABLA 1
Porcentaje de alumnos de 9 a 11 años con dos o más
años de atraso en la primaria en países de América
Latina, años 2000-2001
(según fechas de mediciones nacionales)
(*) Cifra sin confirmación en la fuente.
FUENTE: adaptación de SITEAL (b), Resumen estadístico
1. Totales nacionales, cuadro 9.
y son muy elevados (con picos del 47,4%) los porcentajes de la
población de 15 años o más que no ha logrado
completar la escuela primaria (ver tabla 2).
TABLA 2
Porcentaje de población de 15 años y más con
nivel educativo hastaprimario incompleto en países de América
Latina, años 2000-2001
(según fechas de mediciones nacionales)
FUENTE: adaptación de SITEAL (b), Resumen
estadístico 1. Totales nacionales, cuadro 23.
¿Por qué iniciar un artículo sobre la enseñanza
del sistema de numeración con referencias al fracaso escolar?
Porque la enseñanza de la matemática (junto con la
de la lengua) ocupa un lugar estratégico en la trayectoria
escolar diseñada por los currículos de todos los países.
En efecto, el peso de esta materia en el proyecto formativo que
sostiene la escuela es enorme, tanto por su inclusión universal
en el currículo (véase la tabla 3) como por su participación
en la carga horaria semanal: según datos aportados recientemente
por Benavot, a la matemática se le asigna como promedio cerca
de la quinta parte del total de horas lectivas de la escuela primaria
(véase Benavot, 2002, cuadro 4). La centralidad de esta asignatura
en el diagnóstico del estado de la educación se manifiesta
en el hecho de que los sistemas nacionales de evaluación
de la calidad educativa que diversos países han establecido
recientemente, se restringen habitualmente a ella y al área
de lengua como disciplinas centrales del currículo (Terigi,
1999).
TABLA 3
Porcentaje de países del mundo entero que exigen la enseñanza
de asignaturas del plan de estudios en el nivel de la escuela primaria
(cursos 1-6), 1920-1986, según asignatura.
n = número de países.
FUENTE: adaptado de Benavot, 2002, cuadro n.° 4.
La exclusión de niños y adolescentes
de los servicios educativos, así como el fracaso de muchos
de quienes logran ingresar al sistema escolar, suscitan desde hace
lustros esfuerzos importantes de los países para desarrollar
políticas que mejoren la capacidad incluyente de las escuelas.
El fracaso escolar provoca la necesidad de un análisis de
la enseñanza habitual que permita comprender mejor los factores
productivos que puedan estar operando en las situaciones de enseñanza4.
En el aprendizaje de la matemática, "muchos estudiantes
muestran que no pueden, que no tienen interés, que no quieren
[...]. Pero este estado de cosas, que se ha vuelto natural, ha sido
provocado por muchísimos factores entre los cuales interviene
la naturaleza del proyecto educativo, condicionado no sólo
por los factores sociales sino también por una cierta visión
de los modos en que circula el conocimiento dentro de las clases.
Revisar la matemática que vive en la escuela, interrogarla,
analizarla, es imprescindible para concebir otros escenarios"
(Sadovsky, 2005, p. 13, cursiva y negrita en el texto fuente).
Este artículo se propone aportar al esfuerzo por entender
los procesos sociales y educativos que confluyen en la producción
del fracaso escolar, centrándose de manera específica
en analizar de qué manera la enseñanza usual del sistema
de numeración puede estar contribuyendo a la producción
de fracaso, y mostrando cómo es posible, bajo ciertas condiciones,
generar propuestas de enseñanza que coloquen a los niños
en una posición de creciente dominio de esta herramienta
cultural, base para los aprendizajes de los conocimientos matemáticos
en la escuela.
La elección del objeto, el sistema de numeración
(en adelante, SN), no es casual. En el inicio de la formación
matemática escolar, cuando niños y niñas se
incorporan a la educación básica o primaria, el SN
es el elemento clave. Según Nunes Carraher y Bryant (1998),
el desarrollo del conocimiento y la comprensión matemáticos
implica para los niños tres aspectos: aprender las invariantes
lógicas, aprender a dominar y utilizar los sistemas matemáticos
convencionales y aprender a ver los requerimientos matemáticos
de diferentes situaciones. El SN es el primer sistema matemático
convencional con que se enfrentan los niños en la escuela,
y constituye el instrumento de mediación de otros aprendizajes
matemáticos, "el aspecto de la notación matemática
más fundamental (el álgebra, por ejemplo, es más
compleja y presupone el conocimiento del sistema numérico)"
(Martí, 2003, p. 164). En consecuencia, la calidad de los
aprendizajes que los niños puedan lograr en relación
con este objeto cultural es decisiva para su trayectoria escolar
posterior.
En este sentido, nos interesa poner a consideración de los
lectores que la enseñanza escolar de la matemática
puede ser injusta no sólo con quienes no logran aprender
los contenidos curriculares, sino también con quienes triunfan
en la escuela y logran avanzar con regularidad en su escolaridad.
Esto es así cuando los contenidos curriculares o la propia
enseñanza no incorporan a los alumnos al mundo de relaciones
que constituye la matemática. Si, como sostiene Rodd, la
naturaleza de las justificaciones por las que un alumno otorga validez
a una proposición matemática es un aspecto central
para determinar si posee en verdad conocimiento matemático
(Rodd, 2000); si, como sostiene Sadovsky, la actividad matemática
es una actividad de modelización por medio de la cual los
alumnos aprenden a actuar sobre la realidad valiéndose de
un aparato teórico (Sadovsky, 2005), una enseñanza
que no trabaje sobre la formulación de razones, o que reduzca
la actividad matemática a "aplicar una operación",
comprometerá las posibilidades de los alumnos de adquirir
dominio sobre el saber matemático, de apropiarse del conocimiento
construido y de afirmarse a sí mismo como aprendiz de una
cultura. En el campo del SN, limitar el trabajo didáctico
a unos pocos números de la serie presentándolos de
uno en uno sin avanzar hasta que no se domine el nombre y el correcto
trazado de cada uno, o mostrar un único modo -el convencional-
de resolver las operaciones, hace imposible que los niños
accedan al mundo de relaciones que supone la notación numérica,
y pone en riesgo no sólo sus aprendizajes sobre el SN sino
sus posibilidades futuras de apropiación de nuevos conocimientos
matemáticos.
2. Acerca del sistema de numeración como objeto
La pregunta por la enseñanza de la numeración escrita
requiere "desnaturalizar" nuestro saber adulto sobre ella.
En efecto, los adultos, usuarios habituales del SN, tendemos a pensar
en él como una técnica de traducción de las
cantidades a una forma gráfica, y solemos creer que para
su conocimiento alcanza con conocer la regla que rige esta traducción.
Este modo de entender al SN oscurece la comprensión de los
problemas involucrados en el aprendizaje de este objeto y, desde
luego, en su enseñanza. A lo largo de este trabajo, propondremos
a los lectores otras perspectivas sobre el SN que permitirán
problematizar la manera en que se desarrolla usualmente su enseñanza.
En este apartado nos centraremos en dos perspectivas de análisis
del SN: en cuanto objeto matemático, y en cuanto instrumento
cultural disponible en la cultura.
En cuanto objeto matemático, el SN no es
un artilugio de mera traducción de cantidades en formas gráficas,
sino un sistema de representación de las cantidades. La construcción
de cualquier sistema de representación involucra un proceso
de diferenciación de los elementos y relaciones reconocidos
en el objeto a ser representado (en nuestro caso, en las cantidades
y en el proceso de cuantificación) y una selección
de aquellos elementos y relaciones que serán retenidos en
la representación (en nuestro caso, las reglas del SN)5.
Para poder representar las cantidades, el sistema de numeración
posee ciertas reglas que permiten organizar la cuantificación
para hacerla económica, y estas reglas, lejos de ser "naturales",
son producto de la elaboración histórica de ciertas
convenciones.
La elaboración histórica del SN puede entenderse
como una búsqueda sostenida de economía en la representación,
que ha desembocado en la elaboración de un sistema por el
cual con un pequeño número de símbolos es posible
representar infinidad de cosas y realizar complejas operaciones.
En orden a esta economía de la representación, quienes
han rastreado la génesis del sistema de numeración
en la historia humana consideran que tres han sido las innovaciones
más poderosas (Guitel, 1975; Ifrah, 1987):
- La utilización de agrupamientos, que permitió
superar la mera notación por correspondencia uno-a-uno,
que es sólo la traducción de una enumeración
que anuncia un grupo de objetos sin implicar para ello el desarrollo
de la noción de cuantificación. La idea de agrupar
las cantidades constituyó un primer paso en la economía
de la representación.
- La utilización del principio de la base, que convirtió
los agrupamientos en regulares. Este principio permitió
superar la dificultad de tener que recordar, para comprender cada
nivel de agrupamiento, el principio de agrupamiento utilizado.
Los sistemas de base son sistemas de agrupamientos regulares,
donde el número de elementos que se agrupa es igual al
número de símbolos utilizados en la escritura.
Pero al escribir posicionalmente, evitamos escribir los exponentes
de las potencias de la base (3, 2, 1, 0), sobreentendidos en la
posición otorgada a cada coeficiente (4, 6, 2, 7).
Todo esto está presente en algo tan simple como el número
"50" que puede figurar en un billete al que los niños
tienen acceso, o como el precio de $179 que ven en un electrodoméstico
que se exhibe en el anaquel de un supermercado. Pero, junto con
estos números, los niños ven otros (como el 179 de
un ómnibus o el 49253442 de un teléfono), donde los
numerales no cumplen las mismas funciones de representación
que en los casos del billete o el precio. Esto nos coloca frente
a una segunda dimensión de análisis del sistema de
numeración, como instrumento de uso social: esto es, en cuanto
objeto que está presente en la vida cotidiana de todos nosotros
-también de los niños-, ofreciendo informaciones muy
diversas, de acuerdo con sus diferentes contextos de utilización
(Sinclair y Sinclair, 1984).
Desde el punto de vista infantil, el sistema de numeración
ofrece numerosas oportunidades de interacción, porque es
un objeto cultural que tiene la particularidad de estar sumamente
presente en el mundo social. Para corroborarlo basta con pensar
en algunas de las situaciones cotidianas en las que aparecen numerales:
en los casos ya citados del dinero, los ómnibus, los precios
y los teléfonos, pero también en el modo de señalar
las fechas, en avisos de pago de servicios y recibos de cobro; en
la identificación de las casas y los automóviles;
en los relojes, las páginas de los libros y revistas, los
talles de la ropa, las medidas del calzado, la documentación
de las personas, las indicaciones de contenido y precio de las mercaderías,
el control remoto de la televisión, etcétera.
Pero ocurre que, en muchos de los casos que hemos mencionado, los
números no funcionan como lo hacen en el sistema de numeración,
sino con reglas específicas de la situación en cuestión.
Así, por ejemplo, si en el SN cifras distintas representan
cantidades diferentes, hay usos de los grafismos numéricos
en que cifras diferentes no representan cantidades diferentes, sino
clases cuyas diferencias son cualitativas: lo que indica el 179
de un colectivo con respecto al 21 de otro no es una cantidad mayor
(colectivos más grandes, mayor número de colectivos,
etc.), sino que ese colectivo realiza un recorrido diferente al
otro, el numeral funciona aquí como una etiqueta. Por lo
tanto, las reglas construidas históricamente para representar
variaciones en la cantidad no estarán funcionando en estos
usos diferentes (Terigi, 1992).
La consideración del SN como instrumento social implica
que el análisis de este objeto que se requiere para diseñar
su enseñanza no se agota en el conocimiento de sus aspectos
matemáticos; requiere poner en juego otros saberes que no
son los del especialista en el campo matemático. En la dimensión
de análisis en que nos estamos moviendo, se requiere un análisis
de las prácticas sociales que involucran la numeración
escrita y de los intercambios que tienen lugar a propósito
de esas prácticas. Ese análisis nos pone frente a
la posibilidad de comprender la clase de problemas que tiene que
resolver un niño para llegar a comprender la naturaleza y
funcionamiento del SN como objeto matemático, apoyándose
en la información sobre él con la que cuenta a través
de los usos muy diversos que se dan a la numeración escrita
en su entorno social. Puede decirse que el uso de los números
en el medio social es diverso y poco "respetuoso" de las
características del sistema como objeto matemático;
pero son precisamente estos usos los que ponen a los niños
tempranamente en contacto con la numeración escrita.
3. Las conceptualizaciones infantiles sobre el sistema de numeración
Desde hace tiempo, la literatura internacional viene reportando
resultados de investigaciones sobre los procesos por medio de los
cuales los niños construyen conocimientos acerca del SN,
este objeto de conocimiento que es, a la vez, una herramienta presente
en la vida social y un contenido curricular principal de la enseñanza
escolarizada.
Las investigaciones han avanzado desde los primeros estudios centrados
en la representación gráfica de cantidades inferiores
a diez (Sastre y Moreno, 1976; Hughes, 1986; Sinclair, Siegrist
y Sinclair, 1983) y en la diferenciación de notaciones numéricas
y alfabéticas (Pontecorvo, 1985) a los estudios que focalizan
en la producción, la interpretación o la comparación
de notaciones representativas de números mayores, en las
que intervienen las reglas que rigen el sistema posicional (Sinclair
y otros, 1994, replicada en nuestro medio por Scheuer y otros, 1996,
2000; Seron y otros, 1995; Nunes Carraher, 1989; Higino da Silva,
1990; Seron y otros, 1991; Martínez Ruiz y Tolchinsky Landsmann,
1993). Entre estas últimas, algunas se ocupan sólo
de la producción y otras sólo de la interpretación-comparación
entre escrituras convencionales, en tanto que otras (Terigi, 1992;
Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994) interrelacionan los dos aspectos.
Mucho más recientemente se han desarrollado investigaciones
destinadas a estudiar las producciones numéricas en niños
más pequeños (Alvarado y Ferreiro, 2000; Alvarado
2002; Brizuela 1997, 2001). Alvarado estudia la adquisición
del sistema gráfico alfabético y numérico y
presenta las razones que conducen a niños de 4 y 5 años
a emplear variantes gráficas originales al escribir al dictado
números de dos cifras: rotaciones o el empleo de números
"comodines". Brizuela, por su parte, aborda las ideas
infantiles sobre los números escritos y también encuentra
el uso de "comodines" para los elementos de los números
que los niños no conocen. Ambas investigaciones documentan
la vinculación de la producción numérica de
los niños con las pistas lingüísticas que ofrecen
las designaciones orales de los numerales y señalan que la
mayoría de los niños escriben los números de
dos dígitos con dos dígitos, si bien Alvarado aclara
que la producción de números bidígitos con
dos cifras se presenta en niños con poco conocimiento de
los nudos escritos.
Los estudios citados coinciden en evidenciar la elaboración
temprana por parte de los niños de conceptualizaciones originales
sobre el SN, entre las cuales se destacan la construcción
de criterios de comparación de números y la producción
de notaciones numéricas basadas en la correspondencia con
la numeración hablada. Se ha establecido igualmente (Lerner
y otros, op. cit.) que la escritura de los nudos -de los números
"redondos"- constituye un punto de apoyo para la apropiación
de otras notaciones, que los niños enfrentan conflictos como
producto de la elaboración simultánea de reglas basadas
en la posicionalidad (criterios de comparación) y en la correspondencia
con la numeración hablada, y que el esfuerzo por superar
estos conflictos permite avanzar hacia la escritura convencional.
Hace más de una década que la investigación
ha hecho evidente que se requieren situaciones específicas
para que ciertos aspectos conceptuales del SN se pongan en juego
(Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994), por lo cual los estudios que
procuraron avanzar en la comprensión de los procesos cognoscitivos
ligados a la construcción del sistema de numeración
han comenzado a ubicarse en el contexto de la enseñanza escolarizada.
Pese a ello, las investigaciones sobre la enseñanza del SN
son aún escasas, pudiendo citarse, además del trabajo
referido, los de Bednarz y Janvier (1992), Bednarz (1991), DeBlois
(1996) y Lerner (2005). En nuestro caso, la investigación
didáctica ha permitido estudiar la relación entre
el aprendizaje de las operaciones aritméticas y la comprensión
de los aspectos multiplicativos subyacentes a la notación
numérica; el diseño y aplicación de situaciones
didácticas que apuntan a la comprensión de la agrupación
decimal por parte de los niños nos permitió estudiar
el pasaje de una concepción estrictamente aditiva de la notación
numérica a una concepción caracterizada por la progresiva
consideración de los aspectos multiplicativos involucrados
en la organización del sistema posicional (Lerner y otros,
2003).
4. La enseñanza usual del sistema de numeración
En la enseñanza usual, el SN es objeto de un tratamiento
didáctico que fue analizado por diversos autores (entre ellos,
Lerner y otros, 1994; Wolman, 2000; Quaranta, Tarasow y Wolman,
2003). En lo que sigue analizaremos sintéticamente la enseñanza
usual del sistema de numeración y los presupuestos que la
orientan, señalando los problemas que presenta tanto desde
el punto de vista del objeto de enseñanza (el SN) como de
su relación con las ideas de los sujetos.
- En la enseñanza usual del SN, se considera ineludible
enseñar los números de a uno por vez, comenzando
por los dígitos y respetando el orden de la serie. Se establecen
cortes en el SN para secuenciar su enseñanza según
los años de la escolaridad: de 1 a 100 en primero, hasta
1.000 en segundo y así sucesivamente. Desde el inicio y
junto con la presentación del número diez, se incorporan
las nociones de unidades y decenas. El orden de presentación
de los números y la correspondiente explicitación
del valor posicional son considerados requisitos necesarios para
la enseñanza de los algoritmos convencionales.
Esta manera de presentar los números dosifica de tal
modo al objeto de conocimiento que su comprensión se
ve dificultada: no es posible detectar regularidades y descubrir
la recursividad del agrupamiento, precisamente porque lo que
no se permite es la interacción con el sistema en cuanto
tal.
- Se emplean diferentes recursos materiales para concretar el
principio de agrupamiento de base diez, a partir del cual todos
los números que se presentan se traducen a concreciones
realizadas con objetos y/o dibujos (ataditos de palitos, dibujos
geométricos para indicar los diferentes órdenes
surgidos del agrupamiento, etc.).
Estos recursos presentan varios inconvenientes cuando se intenta
enseñar con ellos la posicionalidad que caracteriza nuestro
SN. En efecto, al utilizarlos, lo que se pierde es justamente
la posicionalidad, dado que es posible interpretar el número
independientemente de cuál sea la posición en
que estén ubicados: un atadito de diez y dos palitos
siempre formarán doce sin importar que se coloque el
atadito delante o detrás de los dos palitos. Estos recursos
hacen que el SN se asemeje más a los sistemas aditivos
-en los que se reitera la potencia de la base- que a los sistemas
posicionales -en los que las potencias de la base se representan
exclusivamente a través de la posición que ocupan
los números-. Lerner señala al respecto: "Estos
procedimientos para concretar el sistema de numeración
tienen dos grandes inconvenientes desde el punto de vista de
una didáctica constructivista: el primer gran inconveniente
es que se deforma el objeto de conocimiento transformándolo
en algo muy diferente de lo que él es; el segundo gran
inconveniente es que se impide que los chicos utilicen los conocimientos
que ya han construido en relación con el sistema de numeración"
(Lerner, 1992b, p. 13).
- El modo en que se enseña el SN sintetizado en los puntos
precedentes se concibe como necesario para la enseñanza
y el aprendizaje de los algoritmos convencionales, ya que también
se presupone que los alumnos no podrán resolver ninguna
operación aritmética si no se les explica previamente
cuáles son los pasos a seguir. Para ello, la conceptualización
en unidades y decenas es necesaria.
Frente a esta caracterización, un amplio
abanico de investigaciones señalan -y lo reconocen también
quienes están vinculados a la práctica escolar-
que la enseñanza habitual del SN y de los algoritmos
convencionales correspondientes a las operaciones aritméticas
en los primeros grados no facilita que los alumnos comprendan
las razones de los pasos que se siguen para obtener el resultado.
En efecto, los errores que cometen los niños al resolver
algoritmos6 o las explicaciones que brindan
acerca de los procedimientos empleados, incluso cuando obtienen
el resultado correcto7 -fundamentalmente en
las famosas cuentas de "llevarse o pedir prestado"-,
testimonian la dificultad de los alumnos para comprender que
dichas reglas están íntimamente relacionadas con
los principios de nuestro sistema de numeración. (Lerner
1992a; Lerner, Sadovsky y Wolman 1994; Wolman, 1999). Se reconoce
así un serio problema de la enseñanza usual: la
dificultad de lograr que los alumnos comprendan realmente el
principio que rige la numeración escrita. En efecto,
cuando se enseña el algoritmo convencional de "sumar
en columnas" los alumnos no necesitan poner en acción
en todo momento los conocimientos sobre el SN. Si se tiene que
calcular la suma de las unidades y las decenas, esto puede llevarse
a cabo sin pensar lo que estas cifras representan.
Cuando la enseñanza se basa sólo en la transmisión
de reglas, se impide a los alumnos utilizar y vincular los conocimientos
que han construido y continuar construyéndolos, y, sobre
todo, se les deja comprender que los procedimientos con los que
se resuelven todas las operaciones están íntimamente
vinculados con este sistema.
En síntesis: la enseñanza usual
se diseña sobre el supuesto de que los niños tienen
que comprender el sistema de numeración antes de comenzar
a utilizarlo, pues el uso deviene de la correcta aplicación
de los principios conceptuales que rigen al sistema. Se establece,
entonces, un proceso didáctico que comienza con la explicación
por parte del docente del principio de agrupamiento en base diez
que rige al sistema, y que promueve luego la aplicación de
ese principio a diversas situaciones de uso, como la resolución
de pequeñas cuentas, el dictado de números, etcétera8.
5. Una enseñanza enfocada a la construcción infantil
de conocimientos sobre el SN
El análisis de la enseñanza usual del SN nos ha permitido
señalar cuán difícil es que los niños
y niñas tengan oportunidad de comprender la naturaleza del
sistema en virtud de las restricciones en el tratamiento didáctico
del objeto. En este apartado plantearemos algunas características
que asume la enseñanza cuando se enfoca a promover la construcción
por parte de los alumnos de las razones que hacen al funcionamiento
de los números, y cuando les permite así llegar a
comprender los principios que rigen el sistema y las operaciones
subyacentes a la notación numérica.
5.1 El tratamiento didáctico del objeto de conocimiento
Uno de los componentes fundamentales de la propuesta
didáctica radica en que las situaciones que se diseñen
propongan la interacción de los niños con el objeto
de conocimiento, el SN, en toda su complejidad9.
En la perspectiva de nuestros estudios, estas preocupaciones se
traducen en un principio didáctico que ha sido formulado
como del uso a la conceptualización: el punto de partida
del trabajo que se propone a los alumnos es el uso de la numeración
escrita sin dosificaciones y sin utilizar recursos mediatizadores
de los distintos agrupamientos. Usar la numeración escrita
significa proponer situaciones donde los alumnos tengan que producir
e interpretar escrituras numéricas (aunque no logren hacerlo
convencionalmente), así como compararlas, ordenarlas y operar
con ellas para resolver diferentes problemas. "Considerar lo
que los niños ya saben acerca del objeto de conocimiento,
diseñar situaciones didácticas que les permitan poner
en juego sus conceptualizaciones y les planteen desafíos
que los inciten a producir nuevos conocimientos son condiciones
esenciales para un proyecto didáctico que aspira a engarzar
los conocimientos infantiles con los saberes culturalmente producidos"
(Lerner, 2005, p. 148).
Esto involucra otro posicionamiento frente a las operaciones. En
Lerner y otros (1994) ya se afirmaba que los chicos generan pro-cedimientos
numéricos originales para encontrar sus resultados. Los procedimientos
que los alumnos emplean difieren de los convencionales, aunque,
sin embargo, están vinculados a la organización del
sistema de numeración decimal, y manifiestan el conocimiento
que los alumnos están construyendo acerca del SN.
La organización de la numeración escrita y las operaciones
guardan estrechas interrelaciones: por una parte comprender la notación
numérica supone desentrañar cuáles son las
operaciones subyacentes a ella; por otra parte, la resolución
de operaciones constituye un terreno fecundo para profundizar la
comprensión del SN. Ambos aprendizajes -del SN y de las operaciones-
se influyen recíprocamente.
Por este motivo se propone que los alumnos resuelvan situaciones
problemáticas sin haberles mostrado previamente algún
método de resolución. Desde el punto de vista de la
enseñanza, no introducir en el inicio de la escolaridad los
algoritmos canónicos facilita que los niños elaboren
otros procedimientos para resolver y representar operaciones, relacionados
con sus concepciones sobre la numeración y las propiedades
de las operaciones, aunque éstas funcionen frecuentemente
de manera implícita.
Cuando los niños usan la numeración escrita en el
sentido que mencionamos antes, van elaborando algunas regularidades
en la organización de los números. Las elaboran cuando
comparan números y establecen criterios como "a mayor
cantidad de cifras, mayor es el número" -que les permite
comparar números de diferente cantidad de cifras-, y "el
primero es el que manda" -que les permite la comparación
de los de la misma cantidad de cifras-. Este último criterio
indica que el valor de una cifra no es siempre el mismo sino que
está vinculado con su posición respecto a las otras
que forman el número, criterio que los niños elaboran
y utilizan sin saber aún las razones de este cambio de valor.
Trabajar con amplios sectores de la serie les permite afirmar, por
ejemplo, "primero vienen los que tienen uno solo, después
vienen un montón con dos y después con tres"
o "los de tres [cifras] son los de los cien". O al operar
desplegando sus propios procedimientos descubren que cuando se suma
diez a un número de dos cifras, cambia en uno más
el de adelante y el de atrás queda igual: "si le sumas
diez al veintiocho, te va a dar treinta y ocho porque sólo
cambia el de adelante"; y cuando se resta diez "me fijo
en el número que le sigue para atrás del primero".
Las regularidades constituyen conocimientos importantes en el camino
de aproximación al SN, y son el producto de reflexiones sobre
aquello que sucede en el uso del SN y sus resultados. A su vez,
son parte del camino previo que lleva a introducirse en la búsqueda
de las razones que hacen al funcionamiento de dichas regularidades.
En efecto, sólo tiene valor preguntarse por las razones de
las regularidades una vez que éstas han sido elaboradas por
los alumnos. Las razones explican las regularidades porque dependen,
precisamente, de las operaciones que subyacen a la organización
del SN, y su comprensión supone para el niño la construcción
de una red de conocimientos a lo largo de un tiempo prolongado de
aprendizaje.
5.2 El tipo de situación
Una de las ideas vigentes en el plano didáctico
es tomar como eje la producción del conocimiento por parte
de los alumnos. Las situaciones que favorecen la construcción
de nuevos conocimientos son aquéllas que plantean un problema,
un desafío10.
Desafíar a un alumno supone proponerle situaciones que él
visualice como complejas pero al mismo tiempo posibles, que le generen
una cierta tensión, que lo animen a atreverse, que lo inviten
a pensar, a explorar, a poner en juego conocimientos que tiene y
probar si son o no útiles para la tarea que tienen entre
manos, que lo lleven a conectarse con sus compañeros, a plantear
preguntas que le permitan avanzar [...] (Sadovsky, 2005, p. 13).
La situación requiere que sea asimilable y, al mismo tiempo,
que presente alguna dificultad para que los alumnos logren elaborar
un conocimiento del cual no disponían. Los intentos de solución
harán posible la construcción de un conocimiento por
los alumnos si se les ofrece la posibilidad de establecer nuevas
relaciones con los conocimientos conque ya disponen.
Por eso cobran especial relevancia los problemas que se plantean,
el trabajo que se propone en torno a ellos, las reflexiones que
se promueven en relación con las distintas soluciones; los
procedimientos empleados, la validez de los mismos, la manera de
registrarlos; el conocimiento que circula en la clase; las intervenciones
docentes que generan y que sostienen esta actividad. De esta manera,
se logra que los alumnos avancen, ampliando, modificado o cambiando
sus conocimientos previos.
5.3 La intervención docente
Debido a las características de las situaciones planteadas,
se hacen necesarias ciertas propiedades de la intervención
docente. Estamos a tanta distancia de la práctica de explicitar
la regla de agrupamiento -práctica que es propia de la enseñanza
tradicional del SN- como de las posiciones que tienden a identificar
el papel del docente con el de un simple facilitador, cuya tarea
principal se juega en el diseño de una situación que
favorezca la libre exploración de los sujetos.
Hay aquí, como hemos visto, un modo peculiar de construir
las situaciones, pero también un modo peculiar de intervenir
en el curso de su desarrollo. Una suerte de regla de oro es que
el docente no interviene formulando directamente el saber que espera
ver aparecer en sus alumnos a partir de la interacción con
la situación, sino que las intervenciones son pensadas como
generadoras de condiciones para que el saber que se requiere poner
en juego en cada situación aparezca, se analice y se explicite.
En las situaciones didácticas que hemos
estudiado se anticipan intervenciones posibles, sugiriendo un abanico
de posibilidades. En nuestros estudios, el análisis de las
intervenciones que se desplegaron reveló un hecho que reviste
particular interés: cada maestro hace una versión
propia de las intervenciones propuestas y las utiliza de maneras
diferentes en distintos momentos de la clase11.
Para interpretar el sentido de estas variaciones, para comprender
de qué modo los maestros asimilan las intervenciones propuestas,
en qué circunstancias las utilizan y cuáles son las
nuevas intervenciones que producen, es necesario hacer intervenir
en el análisis, hipótesis o inferencias acerca de
la manera en que cada docente conceptualiza el contenido que está
intentando enseñar y acerca de la concepción del proceso
de aprendizaje de ese contenido que está poniendo en acto
(Lerner y otros, 2000).
Cuando se afirma que la manera en que el docente conceptualiza
el objeto a enseñar, en un sentido general, incide en el
desarrollo de la secuencia, nos estamos refiriendo a modos específicos
de poner en juego ese conocimiento en la situación. Como
se ha señalado, las intervenciones docentes no son de carácter
general, sino específicas para este objeto en cuestión.
Cuando un maestro interpreta una respuesta de un alumno, lo hace
en referencia a qué aspecto o aspectos del funcionamiento
numérico pueden estar sosteniendo esa respuesta.
Supongamos la siguiente situación. En la tarea de interpretación
de números, frente a un grupo de alumnos que no consigue
leer el 74, el maestro pregunta a todos si el nombre de alguno de
los números escritos hasta ese momento sirve para leer éste.
Ante una intervención como ésta, los alumnos pueden
señalar diversos números presentes: el que comparte
el nudo con el número a interpretar, la serie de nudos o
un número que sea el que resulta de invertir las cifras del
74. El modo en que el maestro entiende cada una de estas posibles
respuestas de los alumnos depende de su conocimiento del objeto
de conocimiento y de las reglas de funcionamiento de este objeto
que hacen que, mientras que las dos primeras respuestas de los alumnos
pueden plantearse como ayudas genuinas, en el sentido de ser pertinentes
al objeto, la última no lo sea.
El análisis didáctico sobre el objeto es el que permite
a los maestros interpretar una respuesta o una pista formulada por
un alumno en términos de los aspectos conceptuales del sistema.
Es este mismo saber sobre el objeto lo que permite interpretar un
error de los alumnos no sólo en términos de lo que
"falta" para una interpretación convencional de
los números sino en términos de aquellos aspectos
del objeto que sí están siendo considerados por el
alumno. De forma recíproca, ocurre durante la secuencia que
los esfuerzos de los maestros por encontrar sentido a las intervenciones
de los alumnos les permiten una mayor complejidad en la comprensión
de los aspectos conceptuales del objeto de conocimiento.
Dadas las características de la enseñanza que se
postulan, la intervención docente no está completamente
predeterminada sino que se decide cada vez como producto de la evaluación
que el maestro hace de las dificultades que están teniendo
los alumnos y de los saberes que están poniendo en juego
con sus preguntas, sus pistas y sus errores. Estas intervenciones
tienen el propósito de generar condiciones para que los alumnos
avancen en la interpretación numérica, sin reemplazarlos
en la tarea de encontrar las claves que permiten resolver los desafíos,
sino ayudándolos de modos cuya adecuación tiene que
ser calibrada en cada oportunidad. Es en este sentido que, para
la actuación docente, no es suficiente con saber mucho sobre
el objeto: se requiere saber mucho también sobre las intervenciones
específicas que mejor pueden ayudar a los alumnos en un momento
determinado.
Puede decirse, entonces, que en esta manera de abordar la enseñanza
el alumno queda "expuesto a la comprensión del profesor",
en el sentido de que tanto el diseño de la enseñanza
como la intervención en el desarrollo de las clases depende
de la comprensión que el maestro tiene del objeto de conocimiento
y de la comprensión que también tiene de los procesos
que están siguiendo los alumnos en el aprendizaje de este
objeto.
6. Algunas preocupaciones en relación con el proceso
de conceptualización
Como vimos, se propone un recorrido didáctico
que va "del uso a la reflexión, de la reflexión
al establecimiento de regularidades y de las regularidades a la
búsqueda del principio que rige el sistema"12
(Lerner y otros, 1994). No debería escapársenos que
este recorrido didáctico es, también, un recorrido
psicológico, algo que esperamos suceda a los sujetos bajo
las particulares condiciones que se generan en el régimen
didáctico en el que los incluimos.
El "punto de llegada" es según este recorrido
la comprensión de los principios que rigen al SN. En este
punto, no podemos soslayar la preocupación por el modo en
que la definición de los objetivos pedagógicos que
persiguen las situaciones pueda contribuir a disparar las expectativas
acerca de lo que los sujetos deben aprender en la escuela.
Hemos documentado situaciones en las que los sujetos alcanzan un
uso notablemente eficaz de la numeración para resolver situaciones
que tienen en sí mismas un sentido matemático y un
sentido social. Ha sido menos frecuente documentar situaciones en
las que los sujetos progresan en la conceptualización en
las direcciones en que sería posible una mejor comprensión
de las reglas del sistema.
La pregunta que produce inquietud podría formularse del
siguiente modo: ¿hasta dónde disparar la conceptualización?
¿Qué es razonable esperar del aprendizaje de los alumnos,
aun bajo las peculiares condiciones de trabajo didáctico
que tratamos de proponer?
Por un lado, parece interesante propiciar formas de funcionamiento
didáctico que promuevan procesos de conceptualización
creciente en los alumnos. A la pregunta sobre cuál es el
límite de la conceptualización a la que aspiramos,
responderíamos: no hay más límite que los que
el objeto mismo pueda imponer, puesto que esperamos que los sujetos
construyan las reglas que rigen al SN.
Pero, desde una perspectiva pedagógica, no podemos soslayar
el hecho de que ciertos determinantes duros del dispositivo escolar
ligan los logros cognitivos de los alumnos con su éxito o
fracaso en la escuela y con las consecuencias de tal éxito
y fracaso para su destino social más general. El hecho de
que la perspectiva didáctica que adoptamos sofistique los
propósitos que nos planteamos en relación con el aprendizaje
de los sujetos, no debe entenderse como un aumento de las exigencias
que pesan sobre ellos a la hora de acreditar su experiencia escolar,
sino como un requerimiento de reformulación de la enseñanza
del SN en la dirección que marcamos en este trabajo.
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Notas
* Profesora de la Universidad
de Buenos Aires y de la Universidad Nacional de General Sarmiento.
Docente de posgrado de las universidades de Buenos Aires, nacional
de Córdoba, nacional de Entre Ríos y Torcuato Di Tella,
Argentina.
** Docente de Psicología
y Epistemología Genética de la Facultad de Psicología
de la UBA. Docente de Psicología Genética de la carrera
de Ciencias de la Educación de la Facultad de Filosofía
y Letras de la UBA. Coordinadora del área de Educación
Primaria de la Dirección de Currículos de la Secretaría
de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Argentina.
1 Desde hace muchos años
se desarrolla en la Universidad de Buenos Aires un programa de investigaciones
sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración
que ha tocado diferentes aspectos de este objeto en sucesivos períodos
de trabajo. Históricamente dirigido por Delia Lerner, hoy
es el Proyecto 2004-2007 X152: "El sistema de numeración:
conceptualizaciones infantiles sobre la notación numérica
para números naturales y decimales", dirigido por las
autoras de este artículo. Aunque el mismo no es un informe
de investigación, sus consideraciones encuentran fundamento
en los desarrollos teóricos que el equipo de investigación
lleva acumulados a lo largo de estos años.
2 SITEAL es la sigla de Sistemas
de Información de Tendencias Educativas en América
Latina, un programa que desarrollan en forma conjunta el Instituto
Internacional de Planeamiento de la Educación - Buenos Aires
(IIPE-UNESCO, Sede Regional Buenos Aires) y la Organización
de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia
y la Cultura (OEI). Este programa comenzó a funcionar a comienzos
del año 2003 y está orientado a analizar la inequidad
en el acceso y en los logros educativos de la población,
así como el impacto de la educación en la calidad
de vida de las familias y en la dinámica social. Para acceder
a las producciones de SITEAL: http://www.siteal.iipe-oei.org
3 Países con un importante
rezago educativo lograron progresos espectaculares en la escolarización
de la población de 6 a 8 años: Brasil, por ejemplo,
elevó la tasa de escolarización de ese grupo de edad
de 75,4% en 1991 a 93,1% en el año 2001; Costa Rica la elevó
de 78,6% en 1991 a 94,9% en 2000. Los países donde la escolarización
primaria había alcanzado mejores niveles de cobertura también
avanzaron, lógicamente a un ritmo menor; así, Chile
pasó de 94,3% de tasa escolarización de su población
de 6 a 8 años en 1990 a 97,9% en 2000, y México pasó
de 90,9% en 2002 a 96,0% en 2000 (SITEAL, b, cuadro 2).
4 Considerar el fracaso escolar
como fenómeno educativo no implica desconocer las relaciones
que existen entre procesos y condiciones del entorno social y fracaso
escolar; implica no renunciar a explicar "[...] de qué
manera, bajo qué condiciones, por medio de qué mecanismos,
específicamente pedagógicos, se produce dentro de
las escuelas el fracaso de los niños" (Terigi y Baquero,
1997, p. 108, original en portugués, negrita en el texto
fuente).
5 La conceptualización
de los sistemas de representación está desarrollada
en Ferreiro (1986).
6 Existe una amplia literatura
en la que se ilustran los diferentes errores en la ejecución
de los algoritmos clásicos. Véase, entre otros, Dickson,
Brown y Gibson (1991), Resnick y Ford (1990) y Baroody (1988).
7 Recordemos lo planteado en
el primer punto: el sistema es injusto aun con los que la escuela
considera sin riesgo de fracaso, que avanzan en su escolaridad,
porque -aunque esto no se advierte fácilmente- estos niños
no comprenden lo que la escuela intenta enseñarles, y ello
sucede en un tiempo en el que podrían estar abordando cuestiones
que les permitieran ir descubriendo estos principios.
8 Cabe aclarar que cuestionar
una concepción de enseñanza no significa que esa concepción
sea un "error" de algunos, en todo caso es una construcción
colectiva bastante difundida. Son los estudios epistemológicos,
psicológicos y didácticos los que actualmente permiten
este cuestionamiento y, al mismo tiempo, pensar una alternativa
diferente.
9 Como ejemplo de abordaje
del SN en toda su complejidad, podemos mencionar la situación
"Juego de lotería" desarrollada en el programa
de investigación. Esta secuencia de enseñanza se desarrolla
en el inicio de primer grado de la escuela primaria y se encuadra
dentro de situaciones centradas en el uso del SN y búsqueda
de regularidades. Su objetivo didáctico es hacer avanzar
las interpretaciones numéricas de los alumnos promoviendo
la construcción de relaciones válidas desde el punto
de vista de la organización del SN; la lotería ofrece
la posibilidad de hacerlo en relación con un amplio sector
de la serie que abarca los primeros noventa números. Puede
consultarse Broitman y Kuperman (2005) y Quaranta, Tarasow y Wolman
(2003).
10 En este sentido, la secuencia
didáctica del "Juego de la lotería" mencionado
está diseñada de manera tal que este juego se convierta
en un problema para los alumnos, ya que se les propone interpretar
escrituras numéricas, la mayoría desconocidas por
ellos, y sin que medie explicación del docente acerca de
cómo hacerlo. Para jugar a la lotería tal como se
juega socialmente, alcanzaría con conocer el nombre de las
cifras, de esta manera se podría decir "cuatro y tres"
para "cuarenta y tres". En el diseño de la situación
didáctica se agregan nuevas reglas de juego de acuerdo a
los objetivos didácticos que perseguimos: debe decirse el
nombre de los números; una vez "cantado" el número,
éste no se muestra hasta tanto no haya sido buscado en los
cartones por los participantes. Cuando los cantores no conocen el
número los compañeros pueden ayudarlo dando "pistas",
pero sin decir el nombre del número. Para jugar con estas
nuevas reglas los niños necesitan aprender los nombres de
los números y su escritura, y lo harán a través
de alguna estrategia: apoyarse en los números ya conocidos,
recurriendo a algún material que los contenga ordenados para
poder encontrar el número en cuestión, contando desde
el uno, etc.
Otra secuencia estudiada en nuestras investigaciones es "Mayoristas
y minoristas". Se trata de que los alumnos completen un cuadro
de doble entrada con precios de vestimenta de una fábrica
y tres negocios minoristas que recargan a esos precios, respectivamente,
10, 20 y 30 pesos cada uno; es decir, el problema está centrado
en la resolución de operaciones. En clases posteriores, se
proponen minoristas que aumentan 10, 30 y 50 pesos, respectivamente.
Una vez completado el cuadro con los precios correspondientes a
los minoristas, el maestro organiza una segunda situación
en la que conduce una discusión que apunta a reflexionar
sobre los procedimientos utilizados, a retomar regularidades ya
detectadas -o descubrir nuevas- entre las operaciones y los números
escritos en el cuadro. En esta discusión se busca que los
alumnos expliciten esas regularidades y reflexionen sobre ellas
vinculándolas con las sumas (agregar nudos de decenas) y
la organización del sistema de numeración. Desde la
perspectiva didáctica, focalizar en la relación existente
entre notación numérica y operaciones aritméticas
constituye un escenario privilegiado para profundizar la comprensión
del sistema de numeración.
11 Un ejemplo de estas variaciones
es lo ocurrido con "la pista de los nudos" que consiste
en suministrar como ayuda a los niños que no podrían
leer convencionalmente un número, el nudo inmediatamente
anterior y, en caso de que tampoco pudieran interpretarlo, anotar
la serie de los nudos.
12 En esta perspectiva, avanzar
del uso eficaz a la conceptualización supone un pasaje de
un estado de menor conocimiento a otro de mayor conocimiento y,
en tal sentido, se enrola con interrogantes básicos de la
teoría genética.
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