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1. Introducción
A partir de nuestra experiencia de trabajo con profesores de Matemática
de enseñanza media, nos encontramos frecuentemente frente
a una paradoja, por una parte, están los requerimientos del
entorno educativo de la escuela media respecto a la incorporación
de tecnologías informáticas a la enseñanza
de la matemática, así como una cierta disponibilidad
ociosa de recursos computacionales en los centros educativos y por
otra parte, están las prácticas de los docentes que
continúan utilizando esencialmente los recursos tradicionales:
libros de texto, calculadoras, instrumentos geométricos,
etc. Desde nuestro punto de vista los motivos de esta situación
son de naturaleza diversa, que tienen más que ver con razones
institucionales que personales. Pero, sin dudas, las cuestiones
que se le plantean al docente frente a la integración de
los recursos tecnológicos en los contextos de enseñanza-aprendizaje
juegan un papel importante, y pueden resumirse en las siguientes
preguntas: ¿Cómo y para qué incorporarlos?
¿Qué aportes realizarán a la enseñanza
de la matemática? ¿Qué beneficios se obtendrán
desde el punto de vista del saber? ¿Qué tipo de trabajo
realizar para que la incorporación signifique un aporte?
Coincidiendo con Cebrián de la Serna (1995) respecto a que,
hoy, la calidad del producto educativo radica más en la formación
permanente e inicial del profesorado que en la sola adquisición
y actualización de infraestructura, nos centramos en la problemática
de dar sentido a la incorporación de los recursos informáticos
a la enseñanza de la Matemática, en la formación
de profesores.
La introducción de cualquier innovación en el contexto
educativo pasa tanto por las actitudes positivas del contexto institucional
hacia ellas, como por una capacitación docente que las reconozca
como favorecedoras para el desarrollo de su práctica profesional.
En este trabajo analizamos en qué puede favorecer la incorporación
de los recursos informáticos a la enseñanza de la
matemática y hacerlo en el contexto de formación de
los profesores de matemática.
La incorporación de los recursos o medios tecnológicos,
según Cabero (1997), puede asumirse desde diferentes perspectivas:
a) Formación para los medios, y b) Formación con los
medios.
La primera es una formación tendiente a adquirir destrezas
en la interpretación y decodificación de sistemas
simbólicos movilizados por diferentes medios. La segunda
involucra la formación para su utilización como instrumentos
didácticos, es decir como instrumentos que, a través
de sistemas simbólicos y estrategias de utilización,
favorezcan el estudio de determinados saberes.
Bajo esta última perspectiva, la formación con los
medios, lleva a formas particulares de pensar la enseñanza
que involucran nuevos modos de relación y de actuación
(Yeaman, 1994) y esencialmente nuevas formas de acceso al conocimiento.
En el sentido de Vygotski (1978), se trata de determinar si las
tecnologías informáticas, son reales herramientas
cognitivas. Vygotski llama así a los objetos o medios,
provisto por el entorno de aprendizaje, que permiten al alumno incorporar
nuevos saberes que de otra manera serían inviables.
El problema que nos planteamos, entonces, es la integración
de las tecnologías informáticas, de manera que oficien
de herramientas cognitivas. Buscamos diseñar y validar entornos
de aprendizaje, en los cuales la incorporación de tecnologías
informáticas contribuyera a la construcción o resignificación
del conocimiento matemático.
Exponemos en esta oportunidad lo realizado con alumnos del tercer
año del Profesorado en Matemática. La experiencia
se desarrolló en un Taller donde se conjugaron las tecnologías
informáticas con la resolución de problemas; para
ello trabajaron en forma conjunta los docentes de las asignaturas
Taller de Resolución de Problemas y de Computación.
2. Objetivos
Respecto al diseño de entornos, asumiendo que el docente
realiza su práctica enfrentado a su propia experiencia de
formación, nos propusimos elaborar dispositivos didácticos
para que los alumnos, futuros profesores, vivan la resolución
de problemas como un medio para favorecer la integración
de los saberes matemáticos entre sí y de éstos
con los informáticos, contribuyendo mutuamente.
Nos propusimos:
- Diseñar un conjunto de problemas en los cuales
se haga necesario integrar los saberse estudiados en diferentes
asignaturas de la carrera para su resolución.
- Integrar los contenidos informáticos con los matemáticos.
- Analizar los efectos de la incorporación de los
recursos informáticos a la enseñanza de la matemática.
3. Marcos de trabajo
El diseño de los entornos de aprendizaje tuvo en cuenta,
por un lado, el análisis realizado previamente respecto de
la situación actual del currículo del profesorado,
sus dificultades y sus necesidades. Por otro, la necesidad de hacer
vivir al futuro docente experiencias de formación que pusieran
en juego, integradamente, los conocimientos matemáticos entre
sí y a estos con los informáticos; ello basado en
la observación de la enseñanza actual en la escuela
media, dónde la desarticulación del currículo
es un problema poco abordado y de graves consecuencias didácticas.
Además se tuvieron en cuenta los marcos teóricos
asumidos y acordados respecto de la tecnología educativa
y de la didáctica de la matemática.
3.1. Situación actual del currículo del profesorado
El currículo de la carrera de Profesorado en Matemática,
de la Universidad Nacional de Río Cuarto, como de la mayoría
de los Profesorados, se caracteriza por su organización en
asignaturas que cubren las siguientes dimensiones del saber: científico-matemáticas,
psicológicas, tecnológicas, didáctico-pedagógicas
y sociológicas. Respecto al tratamiento de los recursos informáticos
en el desarrollo curricular puede observarse que aparecen adicionados
como un nuevo campo de contenidos, aislados de los restantes, convirtiéndose
en un objeto de estudio en sí mismo.
Coincidiendo con San Martín Alonso (1994), quien dice que:
“La decisión didáctica sobre los medios
a utilizar no se ha de hacer tanto en función de su modernidad
o presumible eficacia, como de la adecuación a las metas
educativas previstas. El valor instrumental no está en los
propios medios, sino en cómo se integran en la actividad
didáctica, en cómo se insertan en el método
porque es éste el que los articula y da un sentido en el
desarrollo de la acción.”
Nos planteamos entonces hacer vivir a los alumnos la integración
de ciertos contenidos curriculares como una manera de contribuir
a la articulación del curriculum. Para que esa integración
cobrara sentido se elaboraron una serie de problemas que, como elementos
contextualizadores, dieran lugar a acciones que hicieran necesario
el uso integrado de ciertas nociones matemáticas. Nociones
que, en el desarrollo curricular de la carrera del Profesorado en
Matemática, aparecen en asignaturas diferentes y desvinculadas
entre sí. Además, se trató que el nexo fuera
realizable a través de ciertos recursos tecnológicos
como calculadoras y ordenadores.
Es claro que la incorporación de las nuevas tecnologías
en la enseñanza no puede ser planteada como algo ajeno a:
Planteos generales respecto de los cambios educativos.
- Los saberes a enseñar.
- Las finalidades de la enseñanza.
Planteos de la didáctica específica.
Esta experiencia tuvo un carácter innovador respecto de
la formación de Profesores de Matemática en el sentido
que: a) se adoptaron nuevas formas de enseñanza de la matemática;
b) se utilizaron recursos no tradicionales que permitieron profundizar
el análisis de los procesos, no sólo de los productos;
c) se llegó a modificar ciertos supuestos pedagógicos;
d) se incorporaron nuevas herramientas para la formación
y evaluación continua e integral.
3.2. Marcos teóricos
Dada la distinta formación de los docentes que confluyeron
en esta experiencia se explicitaron las posiciones asumidas, tanto
en el marco de las tecnologías informáticas, como
desde la didáctica de la matemática.
3.2.1. Posiciones respecto de la incorporación de la
tecnología
Esta propuesta se encuadra dentro de la llamada ergonomía
cognitiva. La ergonomía es la ciencia que estudia los problemas
de diseño y operación que se presentan con el desarrollo
de nuevos sistemas y métodos de trabajo.
La ergonomía promueve un acercamiento holístico a
los factores que influyen sobre el desempeño del ser humano,
por lo que debe considerar el aspecto físico, cognitivo,
social, organizacional, ambiental, y cualquier otro factor que tenga
influencia y que resulte relevante. En este marco puede definirse
la ergonomía cognitiva, la ergonomía física
y la ergonomía organizacional. Este trabajo se encuadra dentro
de la ergonomía cognitiva que se preocupa por los
procesos mentales tales como la percepción, la memoria y
el razonamiento que se ponen en juego en las interacciones entre
los seres humanos y los sistemas con que interactúan.
Entendemos que la introducción de los recursos tecnológicos
significa una nueva forma de organizar, representar y codificar
los saberes, tanto para el docente como para el alumno, lo que hace
necesario repensar los sistemas de enseñanza-aprendizaje
y analizar las innovaciones que hacen posibles.
Basados en estas reflexiones es que surge nuestra propuesta de
presentar la integración entre saberes científicos
y tecnológicos en el currículo del profesorado.
3.2.2. Posiciones frente a la didáctica de la matemática
Este trabajo se enmarca dentro del Programa Epistemológico
en Didáctica de la Matemática iniciado por Guy
Brousseau (1986) y dentro de él, en particular, en la Teoría
Antropológica de lo Didáctico de Chevallard (1986).
Se asume como principio que el aprendizaje surge de la adaptación
del alumno a un medio que le presenta contradicciones y dificultades.
El saber se manifiesta en las nuevas respuestas que es posible dar
a partir de esa adaptación al medio. Es claro que ese medio
debe ser delimitado por el docente en función de las intenciones
didácticas, que se ponen de manifiesto a través del
tipo de problemas y situaciones que propone. Es decir, en este marco
se atribuye un papel significativo, en el proceso de construcción
del saber matemático, a las situaciones o problemas con las
que el alumno debe interactuar.
En este marco el saber tiene dos componentes, una praxis
(o maneras de hacer) y un logos (o discurso justificativo de
las acciones), ambos se ponen en juego frente a la resolución
de problemas y este cobra sentido en tanto aparece como la herramienta
óptima para su resolución.
Por otro lado, para que el alumno se aboque al estudio de un problema
debe existir una contextualización del mismo a la realidad
del sujeto cognoscente. En este sentido, las nuevas tecnologías,
como parte de una realidad en la que el alumno se siente protagonista,
prácticamente en iguales condiciones que el docente, contribuyen
a que éste haga suyo el estudio de ciertas situaciones, que
de otra manera se ven dificultadas.
4. Diseño de entornos
Se diseñaron dispositivos didácticos centrados en
la resolución de problemas. Estos problemas tuvieron objetivos
disímiles, algunos estuvieron dirigidos a la construcción
de saberes, otros a la resignificación y otros a la integración
de saberes matemáticos y computacionales.
La metodología de trabajo puede sintetizarse de la siguiente
manera:
- Se implementa un taller en el que se plantean problemas
para los cuales, en general, no resulta previsible el marco en
que se desarrolla su solución. Este es el motor que impulsa
al alumno a la acción.
- Se trata que los problemas pongan al alumno en un contexto
de trabajo autónomo, en el sentido de que aparezca como
necesario conjeturar, formular ciertos resultados, verificar en
casos particulares, etc. Es decir, se aproxima al alumno a un
plano seudo-científico.
- A partir de lo actuado se establecen espacios de reflexión
y debate acerca de los saberes puestos en juego.
- Los problemas propuestos aparecen conjuntamente con las
observaciones realizadas.
5. Tipos de problemas propuestos y análisis de las observaciones
realizadas en cada caso
5.1. Ámbitos de observación
Hemos considerado como material empírico para las observaciones
a las acciones que realizan los alumnos en el aula, la entrega de
los trabajos domiciliarios y las evaluaciones presenciales.
5.2. Observaciones
A partir del anterior material empírico se realizaron las
observaciones que se detallan a continuación y algunos de
los problemas que permitieron hacerlas.
Pudo observarse que la incorporación de los recursos informáticos
favoreció:
- LA INTEGRACIÓN DE CONOCIMIENTOS DE DIFERENTES
ÁREAS. Esto pudo ser observado a partir del problema siguiente:
Esta situación nos permitió, a partir de un uso
conveniente de variables didácticas, a través
de un cambio de preguntas sobre el problema, plantear situaciones
en diferentes contextos; dentro de la matemática se partió
de un problema en el campo real, se pasó al campo numérico
y de allí al del Análisis Matemático. Dentro
del contexto computacional, pasamos de considerar problemas
recursivos a problemas iterativos. En este sentido la conjugación
de las tecnologías informáticas con la resolución
de problemas, favoreció la articulación del currículo.
- EL TRABAJO AUTÓNOMO DE LOS ALUMNOS Y EL CONTROL
POR SÍ MISMOS DE LAS ACCIONES. Esto pudo observarse
en cualquiera de los problemas geométricos en los que los
alumnos usaron el software Cabri II. Pudimos
observar en qué medida favoreció la participación
activa en la resolución de problemas. Entre los muchos
problemas elijamos uno de los más simples:
Los alumnos podían realizarlo utilizando regla y compás
o utilizando el software Cabri, Todos eligieron realizarlo
con el ordenador y aún los más desinteresados
participaron de las acciones. En este sentido decimos que el
software resultó más movilizador que otros
dispositivos. Por otra parte, dada la posibilidad que éste
software ofrece, el alumno pudo validar sus acciones
sin la intervención del docente, para lo cual bastó
con mover la figura y observar si mantenía su forma.
Como este software mantiene el registro de las sucesivas
acciones llevadas a cabo, esto favoreció que los alumnos
pudieran discutir y reflexionar sobre ellas.
- LAS CONCEPTUALIZACIONES A PARTIR DE LAS RETROACCIONES.
Por ejemplo ante la siguiente situación:
La evidencia visual de la imposibilidad de la construcción
unido a la convicción de la precisión del ordenador
pone de manifiesto, naturalmente, las condiciones necesarias
y suficientes para que tres segmentos conformen un triángulo.
- LA RESIGNIFICACIÓN E INTEGRACIÓN DE CONCEPTOS
MATEMÁTICOS. El diseño del siguiente dispositivo
permitió resignificar una importante cantidad de conceptos
trabajados en otras asignaturas:
Para lograr en la pantalla del ordenador los distintos efectos
en las figuras se debieron conjugar conocimientos matemáticos
vistos en diferentes asignaturas como parametrizaciones de curvas
en el plano y en el espacio, con los informáticos, como
las parametrizaciones que el entorno acepta y el manejo de entornos
gráficos. El trabajo no se redujo a una mera aplicación
de los recursos tecnológicos a la enseñanza, los
alumnos tuvieron que resignificar diferentes conocimientos para
tomar a su cargo la responsabilidad de la selección de
las estrategias y los medios para dar respuesta a lo solicitado.
- EL USO DE PROCESOS INDUCTIVOS, PROPIOS DEL ESPACIO DE DESCUBRIMIENTO
EN LA MATEMÁTICA. La velocidad en los cálculos
que aporta la tecnología informática permitió
la observación rápida de numerosos casos en poco
tiempo. Se trabajó con problemas como:
- AMPLÍA LOS MARCOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONTRIBUYENDO AL SENTIDO DE CIERTOS SABERES MATEMÁTICOS.
A los marcos propios de la ciencia Matemática se agregan
los del contexto informático para la resolución
de problemas. En los problemas propuestos, en general, se deja
a cargo del alumno decidir en qué marco presentar la solución:
La disposición de recursos informáticos permitió,
no sólo describir matemáticamente las transformaciones
sino también mostrarlas efectivamente. A partir de la
definición del punto sobre la esfera terrestre, a través
de sus coordenadas en términos de latitud y longitud
lograr hacer visible el transformado en un plano o en un cono
o en un cilindro, significó al alumno actualizar y resignificar
diferentes saberes matemáticos (transformaciones de la
esfera en un plano o las parametrizaciones de superficies en
el espacio así como la elección del software
adecuado para hacer visibles ciertos efectos.
- HACER VISIBLES CIERTOS OBJETOS QUE SERÍAN MUY
COMPLEJOS EN EL ENTORNO LÁPIZ-PAPEL.
Para problemas como el anterior, desde la matemática
puede resultar un problema laborioso y mientras que, tanto el
planteo de la condición a verificar como la construcción
del algoritmo que le da solución resultan relativamente
fáciles utilizando recursos informáticos simples.
A la vez permite una reflexión sobre la propiedad de
esos números para poder elaborar la condición
de finalización de un ciclo y la condición a verificar
en los condicionales.
- RECONOCER CIERTOS CONOCIMIENTOS COMO OBJETOS Y COMO PROCESOS.
La recursividad, definida en matemática,
cobra otro significado a partir de la implementación de
procesos recursivos efectivos en el contexto computacional.
Delegando las acciones rutinarias al ordenador quedan a cargo
del alumno las conceptualizaciones de esos procesos. En este
sentido la utilización de entornos informáticos
resultó ser un instrumento facilitador de las conceptualizaciones.
Es decir, en un marco en que se conjugan las tecnologías
informáticas con la resolución de problemas, se puede
favorecer la articulación del currículo de matemática.
Si bien no es el único medio para la integración,
entendemos que hoy es uno de los instrumentos que mejor contribuye
a ello dentro de la enseñanza.
6. Reflexión final
A partir del análisis de la realidad de la escuela media
hoy, el interés de este trabajo ha sido comenzar a analizar
la relación con los saberes matemáticos que establecen
los alumnos del profesorado de matemática, futuros docentes,
a partir de la utilización de los recursos tecnológicos,
tratando de hacer visibles las ventajas y desventajas.
Desde lo analizado hasta ahora podemos decir que los recursos tecnológicos
permitieron mostrar aportes a las conceptualizaciones, ofreciendo
nuevos marcos desde los cuales abordar la matemática, marcos
que, bien utilizados, pueden llevar a profundizar la reflexión
sobre los saberes y hacer que estos cobren otros significados. Entendemos
que este aspecto es uno de los que muestra más carencias
en la escuela media respecto de la matemática; los saberes
aparecen impuestos, sin razones de ser, en muchos casos, si no en
la mayoría. Pensamos que la incorporación de las herramientas
informáticas puede contribuir en ese sentido, pero ello no
basta, deben aparecer integradas en función de los saberse
matemáticos.
Claro que esa incorporación no puede ser realizada sin definir
previamente cómo, para qué y cuándo contribuyen
los recursos tecnológicos a la enseñanza de la matemática.
Además, para ello los profesores de matemática deben
estar formados, no sólo en los contenidos específicos
de matemática sino también en el manejo de las nuevas
tecnologías, en particular las informáticas.
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