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Introducción
La presentación de razonamientos matemáticos que
provienen de referencias tomadas de la historia de esta disciplina,
es para numerosos investigadores una forma de mejorar de manera
notable la enseñanza a través de propuestas innovadoras
y exitosas (Bagni, 2001).
Furinghetti y Somaglia (1997, citados por Bagni 2001) reconocen
dos niveles de trabajo en la introducción de la historia
aplicada a la didáctica: un primer nivel que se refiere a
todo lo que intervenga y brinde motivación para estudiar
matemática mediante la contextualización del ámbito
social (geográfico, histórico, comercial, lingüístico)
y un segundo nivel que recupera la dimensión cultural de
la matemática como método.
De los posibles temas a elegir nos decidimos por abordar la sucesión
de Fibonacci, tomando distintas perspectivas y contextos. ¿Por
qué elegimos este tema?. Fundamentalmente, porque siempre
provoca “sorpresa” en los alumnos, no en el sentido de
sobresalto o desconcierto, si no en el sentido de sorprender, de
incrementar la atención o crear un sentimiento participativo
de admiración y satisfacción, un "¡ajá!"
o un "¡eureka!". En otras palabras, sorpresa ante
la belleza y las características de un objeto matemático,
ante la aparición de una solución inesperada o ante
el vínculo imprevisible entre ramas distintas del conocimiento
(Alsina, 2000).
Hagamos un poco de historia
¿Quién fue Fibonacci? Leonardo de Pisa, mejor conocido
por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci) nació
en la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250. Su
padre trabajaba como representante de la casa comercial italiana
más importante de la época, en el norte de África.
Este lo animó a estudiar matemáticas. Leonardo recibió
este tipo de enseñanza de maestros árabes. Se convirtió
en un especialista en Aritmética y en los distintos sistemas
de numeración que se usaban entonces. Convencido de que el
sistema indo-arábigo era superior a cualquiera de los que
estaban en uso, decidió llevar este sistema a Italia y a
toda Europa, en donde aún se usaban los numerales romanos
y el ábaco. Escribió gran cantidad de libros y textos
de matemáticas: Liber Abaci escrito en 1202, Practica
Geometriae en 1220, Flos en 1225 y Liber Quadratorum
en 1227. Es importante destacar que en esa época no existía
la imprenta, por lo tanto los libros y sus copias eran escritos
a mano. Fue sin duda el matemático más original de
la época medieval cristiana.
Desarrollo
La experiencia se realizó con 60 alumnos de 2.· año
de polimodal en las modalidades Ciencias Naturales y Gestión
durante 3 horas reloj, repartidas en tres encuentros de una hora
cada uno. Los alumnos concurren al turno mañana en un colegio
de gestión privada del Gran Buenos Aires.
El trabajo que presentamos a nuestros alumnos tiene lugar luego
de desarrollar el tema de sucesiones numéricas, es el "broche
de oro" de la unidad en la que hemos definido sucesión
como toda función con dominio en el conjunto de los números
naturales, trabajando en el desarrollo de las mismas y en la búsqueda
del término general, como así también en el
reconocimiento de la convergencia.
En la primera de las actividades propuestas, llegamos a la definición
de sucesión de Fibonacci, mediante un ejemplo distinto al
clásico de los conejos, por parecernos más real y
además factible de ser comparado con el propio árbol
genealógico de cada alumno.
La segunda de las actividades plantea un problema geométrico,
que implica realizar construcciones que, en algunos casos, ya han
sido casi olvidadas. Además los induce a la relación
de la matemática con otras ciencias, en este caso, las biológicas.
En la tercera actividad nos volcamos hacia la teoría de
números, buscando sorprender a los alumnos a través
de múltiplos y divisores, y regularidades entre los mismos.
Actividad 1
En todo colmenar hay un tipo especial de abejas llamadas "reina".
Hay otro tipo, también hembras, que se llaman "trabajadoras"
que a diferencia de las reinas no producen huevos. Hay abejas "machos"
que no trabajan y que son engendrados por los huevos no fertilizados
de las reinas, por lo tanto tienen madre pero no padre. Todas las
hembras son engendradas por la unión de la reina con un macho,
de manera que las hembras tienen padre y madre.
De acuerdo al relato anterior, te pedimos que:
a) Construyas el diagrama de árbol genealógico de
una abeja macho, colocando al macho en la base del diagrama.
b) ¿Cuántos padres tiene?
c) ¿Cuántos abuelos?
d) ¿Cuántos bisabuelos? ¿y tatarabuelos? ¿y
choznos?
e) Escribe una sucesión con los valores obtenidos de las
respuestas anteriores. ¿Observas alguna particularidad?
f) Construye ahora el árbol genealógico de una abeja
hembra, y responde las mismas preguntas anteriores ¿hay alguna
similitud?
g) Construye tu propio árbol genealógico. ¿Se
mantienen las mismas relaciones anteriores? ¿Por qué?
h) Escribe el término general de cada una de las sucesiones
obtenidas.
Las dos primeras sucesiones, se conocen con el nombre de SUCESIONES
DE FIBONACCI.
Actividad 2
a) Construye dos cuadrados de lado 1, que tengan un lado en común.
Sobre ellos, construye uno de lado 2; a continuación otro
que tenga por lado la suma de este último con el anterior.
Podemos continuar agregando cuadrados de tal forma que cada uno
tenga por lado la suma de los lados de los dos últimos cuadrados
dibujados (agrega por lo menos cuatro más).
b) Este conjunto de rectángulos los llamaremos rectángulos
de Fibonacci. ¿Por qué?
c) Construye una espiral sobre los cuadrados, dibujando 1/4 de
la circunferencia inscripta en cada cuadrado.
d) Si bien matemáticamente no es una espiral, es una muy
buena aproximación de la espiral que aparece en la naturaleza.
Busca no menos de tres ejemplos que presenten esta espiral.
Actividad 3
En esta actividad vamos a conocer algunas particularidades de los
números de Fibonacci. Para ello te pedimos que:
a) Escribe por lo menos los treinta primeros términos de
la sucesión de Fibonacci
b) ¿Cuáles son pares? ii- ¿Qué lugar ocupan
en la sucesión? iii- ¿Qué significa que un número
ocupe el segundo, tercero, cuarto o enésimo lugar en una
sucesión?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 3? ii- ¿Qué
lugar ocupan en la sucesión?
d) Realiza el mismo análisis con los múltiplos de
5, 8 y 13 ¿Por qué se eligieron estos números?
e) Si hallas alguna regularidad, exprésala en palabras.
f) A modo de ayuda y como resumen de lo obtenido, completa el siguiente
cuadro agregando más filas y columnas:
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Lugar que ocupan
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
Términos de la suc.
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1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
|
¿Múltiplo de 2?
|
no
|
no
|
sí
|
no
|
no
|
sí
|
no
|
no
|
sí
|
|
¿Múltiplo de 3?
|
no
|
no
|
no
|
sí
|
no
|
no
|
no
|
sí
|
no
|
Ya sabemos que cada término de la sucesión de Fibonacci
es divisor de infinitos números de la sucesión. Pero,
a)¿Qué sucede con los números que no son términos
de la sucesión de Fibonacci? ¿Hay múltiplos de
4?, ¿y de 6?, ¿y de 7? Observa hasta los múltiplos
de 10. ¿Te animas a extraer alguna conclusión?
La realidad es que hay infinitos números de la sucesión
de Fibonacci que son múltiplos de cada número entero
elegido. ¿No te parece sorprendente?
Resultados
En el EJERCICIO 1 el 100% de los alumnos construye el árbol
genealógico de una abeja macho, indicando la cantidad de
padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos y choznos. El 100% escribe
la sucesión, aunque un 30% afirma que “va aumentando
de una forma no regular” pero no encuentran la ley de formación.
Un 25% obtiene la ley de formación que expresa con palabras.
El 100% de los alumnos construye el árbol genealógico
de una abeja hembra. El 100% escribe la sucesión. Cuando
se les pregunta si hay similitudes entre ambas sucesiones, un 20%
afirma que ambas son crecientes, 2 alumnos dicen que “la similitud
es que la hembra tiene la cantidad siguiente al macho”, 1 alumno
afirma que “la segunda es mayor que la primera”.
El 100% de los alumnos arma el árbol genealógico
propio, un 10 % lo hace con los nombres de los familiares. El 30%
escribe la sucesión de las potencias de 2, otro 30% lo expresa
con palabras. Al intentar dar una fórmula para el término
general un 15% escribe “ 2 . x ”.
Solamente dos alumnos intentan dar una fórmula para el término
general de la sucesión de Fibonacci y escriben “ x +
( x + 1 ) ”.
En el EJERCICIO 2 les resultó complicado empezar a construir
los cuadrados ya que no se daban cuenta de cómo disponerlos.
Una vez que los ubicaron, se dieron cuenta que tenían que
cambiar la disposición para poder construir la espiral.
Un 35% no supo justificar por que se los llama rectángulos
de Fibonacci, un 65% afirmó que era porque “sus lados
coinciden con los términos de la sucesión“. Algunos
dicen que “es una sucesión de cuadrados”. El 100%
construye la espiral aunque un porcentaje reducido (5%) confunden
la diagonal del cuadrado con un cuarto de circunferencia.
En el EJERCICIO 3 no tienen dificultad para escribir los términos
de la sucesión ni en el reconocimiento de los múltiplos.
Asimismo, saben ubicar el lugar que ocupan en la sucesión
y reconocen la regularidad que verifican.
Algunos toman la sucesión { 1, 2, 3, 5, 8, .....} en este
caso la regularidad la observan a partir del primer múltiplo
que encuentran.
En cambio los que consideran la sucesión { 1, 1, 3, 5, 8,
.....} afirman que los pares están en los lugares múltiplos
de 3, los múltiplos de 3 en los lugares múltiplos
de 4, etc. En este caso resulta más directa la relación
de los múltiplos con el lugar que ocupan.
Cuándo se les pregunta “¿Por qué se eligieron
los múltiplos de 2, 3, 5, 8, .....?”, en su mayoría
responden porque presentan alguna regularidad “van de 3 en
3”, “van de 6 en 6”, pero muy pocos los relacionan
con los términos de la sucesión de Fibonacci.
Cuando se les pregunta “¿Qué sucede con los números
que no son términos de la sucesión de Fibonacci?”,
afirman que hay múltiplos de 4, de 6 , de 7, etc., pero no
cumplen ninguna regularidad.
Conclusiones
Según L. A. Santaló (1993), lograr interesar al alumno
en los problemas y métodos de la matemática es el
primer objetivo de su enseñanza. Por otra parte, sostiene
Santaló, si bien hay que enseñar a razonar correctamente,
ello debe hacerse sobre la base de ejemplos no evidentes.
Leopoldo Varela (1996) manifiesta que es conveniente que cada aprendizaje
se vaya completando y perfeccionando a través de sucesivas
aproximaciones, cada vez más profundas, desde distintas perspectivas
y en distintas oportunidades, en la medida en que el desarrollo
intelectual del alumno lo permita.
Alentadas por el pensamiento de estos próceres de la matemática,
intentamos transitar distintos campos conceptuales a través
de la sucesión de Fibonacci, dada la "magia" y
la riqueza de estos números.
Bibliografía
ALSINA, C. (2000): La matemática hermosa, <http://www.upc.edu/ea-smi/personal/claudi/documents/matematica_hermosa.pdf>.
BAGNI, G. (2001): La introducción de la historia de las
matemáticas en la enseñanza de los números
complejos. Una investigación experimental en la educación
media superior. Revista Latinoamericana de Investigación
en Matemática Educativa. Thomson-Learning. 4 (1), pp. 45-61.
BIOGRAFÍA DE FIBONACCI: <http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate4k.htm>.
FURINGHETTI, F., y SOMAGLIA, A. (1997): Storia della matematica
in classe.L´educazione matematica, XVIII, V, 2, 1, pp.
43.
KNOTT, R.: The Fibonacci Numbers and the Golden Section. Dir.
en Internet <http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/ Fibonacci/fib.html>.
SANTALÓ, L. (1993): Matemática I. Iniciación
a la creatividad. Editorial Kapelusz.
VARELA, L., et al. (1996): Matemática-Metodología
de la Enseñanza. PROCIENCIA-Conicet. Ministerio de Cultura
y Educación de la Nación, pp.136.
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