Introducción
La asignatura de Matemática, en cualquier grado de enseñanza
escolar, (del primario al universitario, incluyendo la ocurrencia
de postgrados, maestrías y doctorados que podrían
tener cabida a continuación) habitualmente, y debido a su
innegable complejidad, desarrollo, y elevado nivel de abstracción
que exige de quienes la estudian, ha constituido una de las materias
más fuertes a la hora de comprenderla.
A partir de esta certidumbre, se considera loable cualquier intención
creativa que pudiera ayudar a la comprensión de algunos de
los disímiles aspectos que con mayor asiduidad aparecen en
ella.
Desde que en 1637 el matemático francés René
Descartes usara por primera vez el término función
para designar una potencia xn de la variable x, y las subsiguientes
designaciones que le sucedieron, hasta llegar a entenderse de manera
general como la relación entre dos magnitudes, de modo que
a cada valor de una de ellas le corresponde determinado valor de
la otra, el trabajo con expresiones matemáticas se expandió
por sobre las funciones y se ha ganado un lugar dentro de la lista
que conforman esos disímiles aspectos citados con anterioridad.
La metodología del estudio de las funciones, por su parte,
ha demostrado que el apoyo gráfico ayuda considerablemente
al entendimiento del comportamiento de algunas de las mismas. De
esta manera, paralelamente al impulso que ganó el trabajo
con las funciones matemáticas, se desarrolló la práctica
de representarlas en un plano n-dimensional.
La necesidad real de crear una propuesta de ejercicios que auxiliara
a los estudiantes en la operación de graficar algunas funciones
consideradas básicas dentro del contenido de su curso de
Matemática, fue la causa y el punto de partida de este trabajo.
Desarrollo
El concepto de función está implícito en las
matemáticas desde las primeras civilizaciones y ello puede
inferirse del estudio de las tablillas de barro babilónicas
de la colección Plimpton, que datan del año 1900 a.n.e.
Se tiene la certeza de su origen práctico y su vinculación
a las necesidades del hombre; pues tal como la numeración
surge ante las necesidades creadas por el intercambio, los descubrimientos
geométricos son impulsados por las construcciones y las divisiones
de los terrenos, las funciones surgen a partir de la relación
entre cantidades que varían, una en dependencia de otras.
Se puede encontrar una noción vaga de este concepto bajo
la forma de tablas de correspondencias que provienen de la observación
de fenómenos naturales, ya que la idea de función
está ligada históricamente a la percepción
de correlaciones entre los fenómenos de la naturaleza, así
la primera noción de función se encuentra en las tablillas
astronómicas del período seleucida. Sobre estas tablillas,
existen relaciones aritméticas que provienen de la observación
de fenómenos análogos, por ejemplo los períodos
de visibilidad de un planeta y la distancia angular del mismo al
Sol.
La aceptación intuitiva de la dependencia funcional como
manifestación de una relación de causa y efecto en
un fenómeno, en diferentes situaciones, ha sido natural desde
los tiempos remotos. Una larga historia poseen los intentos de expresar
esta dependencia funcional entre cantidades variables a través
de la matemática.
El concepto dependencia funcional se manifiesta matemáticamente,
por primera vez, en la expresión de la variación de
los parámetros que determinaban un lugar geométrico,
a través de una tabla numérica.
En los trabajos de constatación, para determinar las dificultades
que presentan los estudiantes en el aprendizaje de las funciones
en el nivel preparatorio, se ha podido precisar que estas dependen
de múltiples factores, pero fundamentalmente de la creencia
que tienen los profesores acerca de qué es la matemática,
cómo enseñarla y para qué se aprenden estos
contenidos en la escuela. Los resultados obtenidos apuntan hacia
las afirmaciones siguientes, que caracterizan el proceso de enseñanza-aprendizaje
de estos contenidos en el preuniversitario.
- El papel protagónico lo juega el profesor, este trasmite
contenidos sin propiciar la búsqueda de estos por los estudiantes,
lo que limita considerablemente la posibilidad de los alumnos
para transferir estos conocimientos a otros contextos.
- Los alumnos tienen tendencia a la ejecución inmediata,
si el ejercicio o problema hay que pensarlo más de 3 minutos
renuncian a su solución, consideran no estar preparados
para esa tarea.
- Creencia de los profesores sobre lo que significa saber Matemáticas,
esto trae por consecuencia que sólo se debe enseñar
lo que "explícitamente va a prueba de ingreso a la
Educación Superior", y que predomine un tipo de instrucción
que renuncia tácitamente a la teoría y absolutiza
la resolución de ejercicios como única vía
de aprendizaje de esta ciencia.
- Formalismo en la enseñanza de la Matemática, manifestado
en el divorcio evidente que existe entre contenido y forma, o
entre sintaxis y semántica en la enseñanza de estos
contenidos, lo que repercute en su asimilación y en la
posibilidad posterior de aplicar los conocimientos a situaciones
no discutidas en el salón de clases.
- No se domina el trabajo sistemático con el diagnóstico,
y en los casos que este se realiza es formal, no se le da seguimiento
y no constituye un instrumento de trabajo que permita armonizar
la relación diagnóstico-pronóstico-resultados.
- Se imparten y evalúan sólo los contenidos del
grado, y por lo tanto no se materializa el principio de la sistematicidad
de los conocimientos.
- Las clases de ejercitación, que representan más
del 80% de los programas de estudio, no son variadas de manera
tal que incluyan ejercicios sin solución, con varias soluciones
y con soluciones únicas, y el trabajo independiente dentro
de este tipo de clases es prácticamente nulo, por la intervención
continúa por parte del profesor.
Cabe preguntarse entonces si los contenidos que aparecen en el
currículo son los que realmente necesitan los estudiantes
para el desarrollo profesional o social, o si el problema radica
en cómo se produce el proceso de aprendizaje. Esto ha motivado
la investigación de nuevas dimensiones, es decir no sólo
centrarse en lo que se debe estudiar, y cómo enseñarlo,
sino en la forma en que se debe producir el aprendizaje.
A partir de todo lo dicho anteriormente es que se procede a la
elaboración de la propuesta minimal de ejercicios sobre funciones.
Propuesta minimal de ejercicios sobre funciones
Al finalizar el estudio de las funciones, en la asignatura de Matemática
se elaboró el siguiente conjunto de ejercicios que constituyen
las exigencias mínimas que debe dominar un estudiante al
finalizar estos contenidos.
1) Representa en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos
cuyas coordenadas se dan a continuación:
a) (3;0) b) (0;3) c) (0;0) d) (2;8) e) (-3;5) f) (-1;-1) g) (4;-6)
h) (1/2;-5) i) (-0.4;3/2)
2) Representa en el plano los puntos cuyas coordenadas se indican.
Determina, además, las coordenadas de P'.
a) P(4;6) y P' simétrico de P respecto al eje de las abcisas.
b) P(-2;3) y P' simétrico de P respecto al eje de las ordenadas.
c) P(-1;-4) y P' simétrico de P respecto al origen de coordenadas.
3)
La función f está dada por el gráfico que aparece
en la figura 3.13.
a) Determina f(o); f(1); f(2); f(4) y f(6).
b) Determina el valor de x si f(x) = 0; f(x) = 1; f(x) = 2.
4) Determina cuáles de las siguientes ecuaciones definen
funciones lineales:
a) y = x - 2 b) y = 3x c) y = x2 d) y = 3/x + 1, x = 0 e) y = x3
+ 5 f) y = x/5 g) y =
h) 3x + y = 0 i) x + 2y = 8
5) Comprueba si los puntos siguientes pertenecen a la representación
gráfica de la función
y = 8x + 3.
a) P1(0;2) b) P2(1;11) c) P3(0;3)
d) P4(-1;5)
6) Escribe las ecuaciones que definen las funciones representadas
en la figura:
7) Determina para qué valores de "x" la función:
a) y = 5x +8. Toma el valor 4.
b) y = 12 - x. Toma el valor -2/5.
c) y = -2x -5. Toma el valor 0.4.
d) y = - x. Toma el valor .
8) De una función lineal se sabe que su cero es -4 y que
interseca al eje "y" en el punto de ordenada -21/2. Represéntala
gráficamente.
9) Representa gráficamente las funciones lineales siguientes:
a) y = x b) y = - 1/2 x c) y = x + 2 d) y + x = 2 e) y = 8 - 3x
10) Determina la ecuación de la función lineal cuyo
gráfico pasa por los puntos:
a) A (0;0) y B (-1;3) b) M (-1;2) y N (0;-2) c) P(2;3) y Q (-5;4)
11) Determina cuáles de las siguientes ecuaciones representan
funciones cuadráticas y cuáles no. Fundamenta tu respuesta.
a) y =
b) y = -x2 + 5 c) x = -y2+3y-1 d) y = 2x2 + 3x e) y = x2 + 0.5 f)
y2+x2 =1 g) v = at2+ 3t
12) Determina la ecuación de una función de la forma
y= ax2 (a 0) cuyo gráfico pasa por los puntos:
a) A (1;2) b) B(-3;-3) c) C(1; 4) d) D (2; -3)
13) Determina la ecuación de la función cuadrática
representada en la figura.
14) Determina cuáles de las representaciones gráficas
de la figura son funciones y de ellas cuáles son inyectivas.
Considera conjuntos de pares de la forma (x;y) y (y;x).
15) Los gráficos de la figura corresponden a funciones del
tipo f(x) =(x + b)3 + c. Escribe la ecuación que le corresponde
a cada caso.
16) Determina los valores b y c de la ecuación y = (x +
b) 3 + c si el gráfico de la función contiene a los
puntos:
a) (-b;2) y (1;-6) b) (0;0) y (-2;8) c) (0;-1) y (1;6) d) (0; 123)
y (-4;-1) e) (3;5) y(5;7) f) (-b;b) y (3;-1)
17) Dados los gráficos de las funciones representadas en
la figura, analiza si se puede determinar la función inversa.
Fundamenta.
18) Sean las funciones: f(x)= 5x ; g(x)= 5x
- 1; h(x)= 5x + 3 ; p(x)= 5x + 3 - 1
Determina:
a) Dominio e imagen de estas funciones.
b) Ceros en caso de que existan.
c) ¿Para qué valor de x se cumple que:
19) Determina la ecuación de las funciones cuyos gráficos,
se muestran en la figura. Analiza sus propiedades.
20) Representa gráficamente las siguientes funciones si:
f(x)= log5 x - 1; g(x)= log5 (x + 0.5) ; m(x)=
log5 (x - 5) + 1
a) Determina el dominio y la imagen de f,g,m.
b) Calcula su cero
c) Calcula x si: f(x)= - 3; g(x)= 1; m(x)= 2.
21) Los gráficos siguientes representan funciones del tipo
y= log3 (x + b) +c , en cada caso:
a) Escribe su ecuación.
b) Determina los valores de x para los que está definida
la función.
c) Halla su cero.
d) Escribe las coordenadas de los puntos P1, P2, P3 sus ordenadas
son 2,-1, y 1/2 respectivamente.
e) Escribe las coordenadas de los puntos Q1,Q2,Q3 sus abscisas
son 25, -5/3, y 0 respectivamente.
Por último, y con el objetivo de que se tenga una idea más
clara de los resultados obtenidos, se mostrarán las estrategias
seguidas en el proyecto para que los alumnos pudieran transferir
la definición de cero, que sobre funciones lineales ya poseen,
a la función g con g(x)=senx.
Actividades
1) Se les pregunta a los alumnos el concepto de "cero"
de una función lineal. Estos deben responder que "si
f con f(x)=mx+n, m
R, n R, es una función
lineal, entonces xo, es un cero de f si y sólo
si f(xo)=0".
1.1) ¿Cómo se puede hallar este valor?
La respuesta de los estudiantes debe ser mx+n=0 de donde, x= .
Con esto se concluye que el procedimiento es igualar la ecuación
funcional a 0, pues los pares que pertenecen a la función
tienen la forma (x;0).
2) Se les pide a los alumnos que expliquen por qué las funciones
lineales tienen a lo sumo, sólo un cero.
3) Se propone a continuación el siguiente ejercicio con
el objetivo de transferir el concepto de cero a cualquier gráfico.
En el gráfico siguiente determine las coordenadas de los
puntos de intersección con los ejes coordenados.
Obsérvese que hay puntos cuya segunda componente en el par
es 0, hay otros que no; pero hay también puntos para los
cuales no existe información que permita determinar sus coordenadas.
También que el eje vertical es "x", y el horizontal
es "y". Este tipo de actividad permite desarrollar el
pensamiento "flexible y divergente" de los estudiantes.
4) La discusión a partir del protagonismo de los estudiantes
debe aportar la definición de cero, y el procedimiento de
cálculo por reflexiones sobre el contenido para su determinación.
5) La evaluación del proceso permitirá a los alumnos
valorar si el concepto de cero, para la función seno, se
adecua al concepto que se tenía para las funciones lineales,
o si es necesario transformarlo.
6) Los resultados obtenidos son alentadores pues se ha logrado
una mayor independencia cognoscitiva por parte de los estudiantes
y que ellos ocupen el papel protagónico que les corresponde
en el proceso de aprendizaje.
Conclusiones
Lograr un aprendizaje efectivo en los estudiantes de la Preparatoria,
es una aspiración a la que no se debe renunciar, por lo que
se buscan vías y nuevos métodos para posibilitarlo,
es por esto que proponemos la realización de este tipo de
trabajos que a la vez propicia la formación científica
pedagógica de los estudiantes, les muestra una forma de actuar
que es transferible a otros contenidos dentro de la asignatura y
fuera de esta.
La aplicación de la propuesta de ejercicios para la enseñanza
de las funciones, posibilita la solidez de los conocimientos, y
ha demostrado resultados alentadores en su aplicación práctica
para el desarrollo del proceso docente educativo en este nivel,
luego esta experiencia en la asignatura de Matemática en
la facultad de preparatoria abre una importante perspectiva en el
campo de la innovación pedagógica.
Este trabajo puede resultar una fuente de información para
los profesores de Preparatoria o de Preuniversitario incidiendo
en el aumento de la calidad de las clases.
A partir del trabajo realizado se propone:
- Contribuir a despertar el interés por el aprendizaje
de las funciones objeto de estudio de esta metodología.
- Que el presente trabajo, sea tomado como fuente de referencia
por los profesores, con el propósito de documentarse metodológicamente
e informarse acerca de la variedad de actividades que pueden realizarse
para lograr la eficacia del aprendizaje.
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