Lugar de la experiencia: Pcia de Buenos Aires - Argentina

Introducción

En este artículo describimos las estrategias espontáneas que utilizaron alumnos de un taller de resolución de problemas para construir un triángulo equilátero utilizando el Cabri Geometre como herramienta. El objetivo final planteado fue que lograran construir un triángulo equilátero que sea independiente de la medida del lado, es decir, que una vez logrado, la propiedad de equilátero se mantuviera al cambiar las longitud de cualquiera de sus lados.

La experiencia se realizó bajo modalidad taller con un grupo de 16 alumnos de 11 años que trabajaron de a dos. El trabajo describe los diferentes caminos que tomaron los alumnos y qué sugerencias se les fueron presentando para lograr el objetivo propuesto.

Por qué utilizar una computadora y no trabajar con lápiz y papel en este caso? En primer lugar porque utilizar computadoras genera en los alumnos una mayor motivación para el trabajo, al mismo tiempo que permite generar muchos más ejemplos en menos tiempo. Por otra parte, programas como el Cabri Geometre permiten fácilmente variar las condiciones de un problema y por lo tanto, realizar conjeturas y crear variadas estrategias de resolución, entre ellas, la de ensayo y error.

La experiencia

El grupo de alumnos con el que se trabajó ya tenía conocimiento del manejo de comandos básicos del software Cabri Geometre (dibujar punto, segmento, recta, semirrecta, punto medio, circunferencia, paralelas, perpendiculares, transferir medidas, nombrar objetos) y las definición de triángulo equilátero. Hasta el momento no habían realizado sobre el papel la construcción de triángulos equiláteros.

Ante la presentación del problema surgieron los siguientes procedimientos:

Procedimiento A:

1. dibujar un triángulo con la opción triángulo
2. medir un lado
3. seleccionar un vértice y arrastrarlo hasta lograr la misma longitud en todos los lados.

Procedimiento B (*):

1. dibujar un triángulo con la opción triángulo
2. medir un ángulo
3. seleccionar un vértice y arrastrarlo hasta lograr la misma amplitud en todos los ángulos.

(*) Esta opción fue rápidamente abandonada por lo dificultoso de lograr que los ángulos tuvieran la misma amplitud al arrastrar los vértices. Quienes iniciaron la tarea con este procedimiento, luego cambiaron por el procedimiento A.

Procedimiento C:

1. dibujar dos segmentos con un vértice común
2. dibujar un tercer segmento para formar un triángulo con los otros dos
3. medir uno los lados
4. seleccionar un vértice y arrastrarlo hasta lograr la misma longitud de segmento en todos los lados.

A modo de ejemplo, se presenta el gráfico de la derecha realizado con Cabri correspondiente al procedimiento A.

Una vez obtenido el triángulo se les pidió que arrastrando algún vértice, modifiquen la longitud de uno de los lados y observen si el nuevo triángulo continuaba siendo equilátero. Como para todos estos casos esto no se cumplía, se les planteó un nuevo problema: “encontrar la forma de construir un triángulo equilátero que al cambiarle la longitud de alguno de sus lados, le permita mantenerse equilátero”. En el Cabri, esto significa que si se selecciona un vértice y se lo arrastra, las longitudes de los lados del triángulo cambiarán pero siempre se conservará la condición del triángulo de ser equilátero.

Las soluciones propuestas para este nuevo problema fueron dos:

Solución 1

1. dibujar un segmento y medirlo
2. dibujar un punto externo a ese segmento
3. transferir la medida de ese segmento a otros dos segmentos con un vértice común en el punto dibujado.
4. tratar de hacer coincidir los dos puntos B y C para poder formar el triángulo

Solución 2

1. dibujar un segmento AB
2. dibujar una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B y radio AB.
3. dibujar uno de los puntos de intersección de las circunferencias.
4. dibujar el triángulo formado por A, B y el punto de intersección hallado.

Sólo dos grupos respondieron la Solución 2 ante el primer intento en esta segunda propuesta.

Al resto de los grupos, que logró la Solución 1, le sugerimos que fueran describiendo verbalmente cómo funciona el Cabri al transferir medidas. Esto los llevó a darse cuenta que para trazar un segmento AB teniendo el punto A dibujado y que fuese de igual medida que otro CD, el Cabrí mostraba un radio de circunferencia con centro en A y longitud CD, el que gira al mover el mouse y dibuja el punto en el momento que se hace click.

A partir de aquí, cuatro de los grupos rápidamente captaron la idea y llegaron a la Solución 2. Los otros dos grupos dibujaron primero un punto A y luego una circunferencia con cualquier radio y centro en A. A continuación marcaron un punto B sobre la circunferencia y el segmento AB. Por último intentaron determinar el punto C sobre la circunferencia haciendo nuevamente transferencia de medidas, Al ver la complicación en la que estaban inmersos abandonaron esta opción y retrabajaron la idea logrando llegar a la Solución 2.

Al finalizar el desarrollo del problema se les propuso a los participantes del taller que en papel, utilizando regla y compás realizaran la construcción de un triángulo equilátero y que escribieran claramente la secuencia de pasos a seguir para que cualquiera que lea las instrucciones pueda realizar dicha construcción.

Comentarios finales

“El tratamiento de las construcciones geométricas implica el uso de estrategias que requieren una base relativamente amplia de conocimientos” (Siñeriz-Santinelli, 1998). En este sentido, hacer un buen uso en la clase de software específico para construcciones geométricas, permite al alumno contar con una herramienta poderosa para generar sus estrategias ya que tiene la posibilidad de construir figuras, modificar sus condiciones para verificar si se mantienen o no sus propiedades originales, descubrir relaciones entre los elementos de la misma.

El trabajo realizado generó en los alumnos inquietudes acerca de la posibilidad de generar estrategias para construir triángulos isósceles y además observar las propiedades que se conservaban en las figuras si se deforman cambiando la longitud de alguno de sus lados. A partir de aquí, se creó un ámbito propicio para comenzar a trabajar el tema homotecias y semejanza. Esta experiencia será llevada al aula convencional con el objetivo de contar con mayores datos para su análisis.

Bibliografía

AUSUBEL, D.P. Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo. México. Ed. Trillas. 1997.

BONONO F., D’ANDREA C., LAPLAGNE S., SZEW M. Explorando la Geometría en los Clubes Cabrí. Argentina. Red Olímpica.1996

DE CORTE, E. “Aprendizaje Apoyado en el Computador: una Perspectiva a Partir de la Investigación acerca del Aprendizaje y la Instrucción”. Memorias del III Congreso Iberoamericano de Informática Educativa. 1996.

GALVIS, A. “Reflexión acerca del uso del computador en educación primaria y secundaria. Informática Educativa. V. 4. (1) 1991

SIÑERIZ, L. y SANTINELLI, R. ”Estrategias espontáneas con uso de Cabri”. Educación Matemática V. 10 (3) 1998 pp 25-36.