Introducción
El conocimiento se describe como un conjunto de estructuras internas
que existen en la mente de cada ser humano y que están interrelacionadas.
Se acepta que existe un conjunto de representaciones mentales internas
de ese conocimiento. Las matemáticas se aprenden cuando se
adicionan y conectan elementos a las estructuras internas de conocimiento
o cuando se reorganiza una estructura ya existente. Hiebert,J. &
Carpenter,T.(1992)
Es conveniente que cada aprendizaje se vaya completando y perfeccionando
a través de sucesivas aproximaciones, cada vez más
profundas, desde diferentes perspectivas y en diferentes oportunidades,
en la medida en que el desarrollo intelectual del alumno lo permita.
Varela,L. et al.(1996)
La modelización matemática, entendida como la reconstrucción
de significados que dan forma a las situaciones que crean los alumnos
y que participan en ellas, es una construcción original que
utiliza material conocido, por ejemplo las ideas y concepciones
compartidas por los participantes.
Los elementos didácticos de esta nueva perspectiva ponen
en juego relaciones entre diferentes contextos, por ejemplo el algebraico
y el gráfico : identificando coeficientes, reconociendo patrones
de comportamiento, buscando tendencias y estableciendo relaciones
entre las funciones. Cordero, F. (2001)
Nuestra propuesta consiste en representar parábolas utilizando
segmentos. Las parábolas son obtenidas con segmentos que
conectan dos puntos en movimiento. A medida que uno de los puntos
cambia su posición sobre uno de los segmentos, el otro punto
hace lo propio sobre el segundo segmento. Cuando los segmentos determinados
por los puntos móviles son trazados en sucesión queda
formada una parábola. Cada segmento es tangente a la parábola.
Los alumnos pueden dibujar distintas situaciones para generar una
parábola y aprender distintas propiedades que se desprenden
del gráfico.
Desarrollo
La experiencia se realizó con 53 alumnos de tercer año
de polimodal, de los cuales 23 corresponden a la modalidad Ciencias
Naturales, y 30 a la modalidad Economía y Gestión
de las Organizaciones. Dichos alumnos tienen una edad promedio de
17 años, asisten a una escuela cooperativa de gestión
privada del Gran Buenos Aires, sin ninguna particularidad especial
y pertenecen al turno matutino. Los grupos no fueron asignados en
forma aleatoria, si no con los alumnos presentes en cada uno de
los cursos.
El trabajo se llevó a cabo a través de una serie
de actividades específicas; la primera de ellas se centró
en un trabajo fundamentalmente gráfico, ya que tenía
por objetivo indagar sobre el reconocimiento que los estudiantes
tenían sobre "figuras", en especial sobre parábolas.
En una segunda serie se ubicaron las diferentes parábolas
sobre el mismo sistema de ejes cartesianos y el objetivo fundamental
fue traducir al lenguaje algebraico (o simbólico) lo que
hasta el momento sólo existía en el lenguaje gráfico.
Un cuestionario complementó la tarea, mediante el cual se
buscó que reconozcan simetría de puntos equidistantes
del vértice, como así también las diferentes
concavidades.
En una tercera etapa, mediante el uso de papel de calcar, se realizaron
distintas traslaciones: primero sobre el eje Y, luego sobre el eje
X , y finalmente sobre ambos ejes, debiendo nuevamente traducir
al lenguaje simbólico lo expresado mediante gráficos.
Esta etapa del trabajo tenía por objetivo que el alumno expresara
en forma canónica la fórmula correspondiente a cada
parábola.
Finalmente, se les planteó a los alumnos la búsqueda
de conclusiones al variar las condiciones iniciales de la actividad
propuesta.
A continuación presentamos la actividad propuesta a los
alumnos, anexando algunos comentarios y el análisis de las
respuestas dadas por los estudiantes
Actividad propuesta
"Para realizar la siguiente actividad necesitarás:
papel de calcar, lápiz, regla y una hoja de carpeta"
1- Dibuja en la hoja de calcar un segmento y una recta que no sea
ni paralela ni perpendicular al segmento y sin puntos de intersección
con él.
2- Subdivide el segmento en no menos de 16 segmentos congruentes.
3- Dobla la hoja por la recta dibujada y calca el segmento; ¿qué
nombre reciben estos segmentos?
4- Teniendo en cuenta uno de los dos posibles sentidos sobre el
segmento, une la primera subdivisión del segmento A con la
última del A'; la segunda del A con la penúltima del
A'; y así sucesivamente. hasta completar todas las subdivisiones
5- ¿Qué figuras obtienes?
6- Repite el mismo procedimiento pero:
i- variando la posición del segmento y la recta,
pero manteniendo las condiciones establecidas en el punto 1
ii- que la recta y el segmento tengan un punto de intersección
¿Obtienes la misma figura?
7- Dibuja en tu hoja un sistema de ejes cartesianos
8- Ubica una de las parábolas de tal forma que el vértice
coincida con el centro de coordenadas y el eje de simetría
con el eje de ordenadas .
9- Marca puntos sobre la parábola, dando las respectivas
coordenadas
10- ¿Qué particularidad encuentras con los puntos
que están ubicados a igual distancia del vértice?
11- Intenta buscar la fórmula de la función que la
define
12- Repite los pasos 8-9 y 11 con las restantes parábolas
13- ¿Qué sucede si orientamos los ejes de manera exactamente
opuesta?
14- ¿Cuáles son las fórmulas que definen a
cada función ahora?
15- Analiza la concavidad en cada caso
16- Traslademos ahora cada parábola, utilizando siempre el
mismo sistema de ejes, de tal forma que el vértice quede
ubicado:
a) en el punto (2,0).
b) en el punto (3,0)
c) en el punto (-1,0)
d) en el punto (0,3)
e) en el punto (0,-1)
f) en el punto (3,-1)
g) en el punto (-1,3)
h) en el punto (-2,5)
¿Cuál es la fórmula que define
a cada una de las funciones en cada caso?
17- Al comenzar nuestra actividad hemos dado condiciones específicas
para graficar el segmento y la recta. ¿Qué posiciones
particulares puede tomar la recta con respecto al segmento?. Realiza
las experiencias señaladas por los apartados 2,3 y 4 ¿obtienes
en estos casos nuevamente una parábola?
Mostraremos aquí algunas de las figuras obtenidas por los
alumnos que realizaron la actividad en forma correcta :
Al cambiar las condiciones (inciso 17) los gráficos obtenidos
fueron:
Análisis y comentarios de los Resultados
Los estudiantes mostraron en general, una interpretación
adecuada de los términos utilizados, aunque fue necesario
discutir y aclarar conceptos tales como "congruente".
El reconocimiento de la parábola fue unánime.
En la segunda etapa del trabajo, los alumnos evidenciaron sus primeras
dudas al dibujar ejes cartesianos a posteriori de las representaciones
gráficas, tarea poco común en el aula. Inducidos a
elegir en forma personal e individual una escala conveniente, surgió
un problema aún mayor: la expresión de la fórmula
de la función cuya gráfica está realizada.
Si bien el estudiante está familiarizado con el uso del lenguaje
simbólico, su utilización habitual es el pasaje del
simbólico al gráfico y no en forma inversa como planteamos
en esta actividad.
No surgieron dudas con respecto a la concavidad, y si bien no fue
posible en la gran mayoría de los alumnos el uso del término
"simétricos", sí lo fue el concepto que
implica.
a) Reconocimiento del modelo.
El 100% de los alumnos reconocieron que el modelo que quedaba graficado
era una parábola.
b) Reconocimiento del modelo cambiando las condiciones.
El 100% de los alumnos mantuvo el reconocimiento del modelo cambiando
las condiciones.
c) Determinación de las coordenadas de puntos marcados sobre
la parábola.
Encuentran puntos marcados sobre la parábola
|
37%
|
Encuentran puntos marcados sobre la parábola consultando
a la profesora
|
63%
|
No encuentran puntos marcados sobre la parábola
|
0%
|
d) Reconocimiento de la simetría de puntos pertenecientes
a la parábola equidistantes del vértice.
Reconocen simetría
|
58%
|
No reconocen simetría
|
42%
|
e) Traducción del lenguaje gráfico al algebraico:
Sí
|
Por simple observación
|
55%
|
|
Por cálculo de coeficientes por despeje
|
35%
|
No
|
|
10%
|
f) Reconocimiento los cambios modificando la orientación
de los ejes
Reconocen los cambios
|
75%
|
No reconocen los cambios
|
25%
|
g) Reconocimiento de las modificaciones que sufre la fórmula
Reconocen modificaciones en la fórmula
|
63%
|
No reconocen modificaciones
|
27%
|
h) Reconocimiento de la concavidad de la parábola.
Reconocen la concavidad
|
80%
|
No reconocen la concavidad
|
20%
|
En la tercera etapa, al realizar las sucesivas traslaciones a lo
largo de los ejes, la primera observación que se pretendía
lograr es la invarianza del coeficiente del término cuadrático,
que "no" en todos los casos se logró. Desde este
punto de partida, las traslaciones sobre el eje Y se realizaron
prácticamente sin dificultad, aumentando paulatinamente al
trasladarse el vértice sobre el eje X, y aun más cuando
el vértice se ubica en cualquier punto del plano. Al variar
las condiciones iniciales, si bien reconocieron que no es posible
obtener una parábola, muy pocos alumnos lograron identificar
la función valor absoluto.
i) Traducción del lenguaje gráfico al algebraico
al trasladar la parábola
Pudieron traducir del lenguaje gráfico al algebraico
al trasladar la parábola
|
Solo sobre el eje Y
|
33%
|
|
Solo sobre el eje X
|
12%
|
|
Sobre ambos ejes
|
5%
|
No pudieron traducir del lenguaje gráfico al algebraico
al trasladar la parábola
|
|
50%
|
Conclusiones
Las respuestas dadas por los alumnos indican un alto grado de dificultad
para expresar en forma simbólica algo expresado en el lenguaje
gráfico. Los profesores habitualmente trabajamos con el lenguaje
simbólico ( fundamentalmente cuando hablamos de funciones)
y pedimos a nuestros alumnos que transfieran la situación
a un lenguaje gráfico. Algunas veces, de un lenguaje coloquial,
solicitamos su transferencia al simbólico, para luego representar
gráficamente; pero, ¿cuántas veces pedimos
una transferencia del lenguaje gráfico al algebraico? ¿y
del gráfico al coloquial?
Si bien el grupo de alumnos con el que se llevó a cabo la
actividad, había trabajado en años anteriores con
funciones cuadráticas, no lo había hecho en la forma
canónica, así que además de presentar esta
curva a través de segmentos, nos propusimos hacer hincapié
en las coordenadas del vértice para expresarla en forma canónica,
abandonando la importancia que hasta ese momento se le atribuía
a las raíces y por lo tanto, a la expresión polinómica
de la función.
Queremos desde aquí agradecer su cooperación a los
alumnos y alumnas de 3º de "Economía y Gestión"
y 3º de "Ciencias Naturales" (Promoción 2003)
cuyos trabajos son el sustrato para este artículo.
Bibliografía
Cordero,F.(2001).La distinción entre construcciones del
Cálculo. Una epistemología a través de la actividad
humana. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa 4(2), pp.118-119. México: Thomson Learning.
Flores,A.(2002). Interactive String Parabolas. Online Journal of
School Mathematics. National Council Teaching Mathematics. En Internet:
http://my.nctm.org/eresources/view_article.asp?article_id=2074
Hiebert,J. & Lefebre,P.(1986). Conceptual and procedural knowledge
in mathematics: An introductory analysis. En J.Hiebert (Ed), Conceptual
and procedural knowledge: The case of mathematics (pp.1-27). Hillsdale,NJ:
Lawrence Erlbaum Associates.
Varela,L. ;Guasco,M.J. ;Gerompini,A. & Martello,S.(1996). Matemática
- Metodología de la Enseñanza.(pp.136). PROCIENCIA-Conicet.
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