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1. Resumen
En 1977 John Tukey (citado por Hildebrand, 1997) publicó
un tipo de gráfico estadístico para resumir información
utilizando 5 medidas estadísticas: el valor mínimo,
el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo.
Este tipo de gráfico recibe el nombre de gráfico
de caja (boxplot).
En el presente trabajo mostramos la construcción e interpretación
de los gráficos de caja . Así como también,
las propuestas didácticas que se han presentado en clase
2. Introducción
Si bien se ha considerado a la matemática como una poderosa
auxiliar de otras ciencias, hoy en día, se han ampliado tanto
sus posibilidades, fundamentalmente por el aporte de nuevas tecnologías,
que se abren en innumerables e insospechados sentidos los servicios
que puede prestar. Tal es el caso de la interpretación de
gráficos estadísticos. El gráfico es una de
las herramientas más útiles en el estudio de la mayoría
de las disciplinas, ya que permite una visión de conjunto
del fenómeno sometido a investigación, más
rápidamente perceptible que la observación directa
de los datos numéricos.
Las propuestas observadas, en general, en los libros de texto se
refieren a la construcción y lectura de gráficos sin
presentarlos en un contexto determinado. Muchos investigadores consideran
importante no solo la construcción, sino también la
elección del gráfico adecuado de acuerdo al contexto.
En el primer ciclo de la EGB se sugiere presentar tablas simples
y gráficos de barra. Si bien conviene en una primera instancia
el uso de objetos reales antes que representaciones más abstractas.
En el segundo ciclo se siguen usando los gráficos que se
introdujeron en años anteriores pero estos serán más
complejos. En el tercer ciclo se aumentará la sofisticación
matemática, la cantidad de datos, su complejidad. El alumno
será capaz de comparar grupos de datos.
En el siguiente cuadro indicamos los gráficos estadísticos
recomendados por los investigadores de acuerdo al nivel educativo:
Cuadro 1: Progresión sugerida para la introducción
de los diferentes gráficos estadísticos (Adaptación
de Friel,S. ; Curcio,F. y Bright,G. 2001)
En el presente trabajo focalizamos en la construcción y
análisis de los gráficos de caja, también llamados
gráficos de caja y bigotes, en el nivel polimodal.
3. Desarrollo
En 1977 John Tukey (citado por Hildebrand, 1997) publicó
un tipo de gráfico estadístico para resumir información
utilizando 5 medidas estadísticas: el valor mínimo,
el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo.
Este tipo de gráfico recibe el nombre de gráfico
de caja (boxplot).
Un gráfico de este tipo consiste en un rectángulo
(caja), donde los lados más largos muestran el recorrido
intercuartílico (RIC). Este rectángulo está
dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona
la mediana y por lo tanto su relación con los cuartiles primero
y tercero ( recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana).
Este rectángulo se ubica a escala sobre un segmento que
tiene como extremos los valores mínimo y máximo de
la variable. Estos segmentos que quedan a izquierda y a derecha
de la caja se llaman bigotes. ( Freund, Williams y Perles, 1992).
Tomemos un ejemplo: (Gráfico 1)
La variable medida en este caso es : tiempo en segundos para recorrer
100 m
Mediana
Primer cuartil Tercer cuartil
Valor mínimo de la variable Valor máximo de la variable
Los bigotes tienen un límite de prolongación, de
modo que aquellos valores atípicos que se separan del cuerpo
principal de datos se indican individualmente. A diferencia de otros
métodos de presentación de datos, los gráficos
de caja muestran los valores atípicos de la variable. Llamaremos
valores atípicos de la variable a aquellos que están
tan apartados del cuerpo principal de los datos que bien pueden
representar los efectos de causas extrañas, como algún
error de medición o registro. Su eliminación no se
justifica, ya que el propósito del gráfico de caja
consiste en brindarnos un mayor conocimiento de la forma en que
se distribuyen los datos.
Tukey ( citado por Hildebrand, 1997) introduce un criterio para
fijar los extremos de los bigotes. Para esto calcula 4 barreras,
dos interiores y dos exteriores:
Barrera interior inferior=Primer cuartil – 1,5 . RIC
Barrera interior superior=Tercer cuartil + 1,5 . RIC
Barrera exterior inferior=Primer cuartil – 3 . RIC
Barrera exterior superior=Tercer cuartil + 3 . RIC
Recordemos que RIC (Recorrido Intercuartílico) es igual
a la diferencia entre el Tercer cuartil y el Primero.
Si se consideran los valores de la variable comprendidos entre
las dos barreras interiores, el valor mínimo de la variable
y el valor máximo son los extremos de los bigotes.
Si existen valores de la variable comprendidos entre las barreras
interiores y exteriores se consideran valores atípicos y
se indican con *. Si existieren valores fuera de las barreras exteriores
se consideran valores todavía más atípicos
y se indican con · .
Por otra parte, este tipo de gráfico nos proporciona información
con respecto a la simetría o asimetría de la distribución.
Se utilizan los siguientes criterios: si la mediana está
en el centro de la caja o cerca de él, constituye un indicio
de simetría de los datos, si la mediana está considerablemente
más cerca del primer cuartil indica que los datos son positivamente
asimétricos y si está más cerca del tercer
cuartil, señala que los datos son negativamente asimétricos.
Asimismo, la longitud relativa de los bigotes se puede emplear como
un indicio de su asimetría.
Una vez realizado el gráfico, ¿qué tipo de preguntas
debemos formular para una mejor comprensión?
Algunas preguntas podrían ser las siguientes:
- ¿Qué porcentaje de los datos está representado
por la caja?
- ¿Qué porcentaje representa cada uno de los bigotes?
- ¿Puede ser un bigote más largo que otro?. ¿Cuál
es el significado?
- ¿Se encuentra la mediana siempre en el centro de la caja?
4. Actividades Propuestas
1)Hildebrand (1997) propone el siguiente problema donde se muestra
como actúan las barreras interiores y exteriores:
Suponga que el rendimiento de las inversiones de 21 compañías
al término de un año en cierto ramo de la industria
es:
|
-24,6
|
2,6
|
2,4
|
2,7
|
3,8
|
5,6
|
5,9
|
|
6,7
|
7,0
|
7,2
|
7,5
|
8,0
|
8,2
|
8,5
|
|
8,6
|
8,8
|
9,0
|
9,2
|
9,7
|
10,0
|
20,5
|
Trace un diagrama de caja para estos datos, señalando valores
atípicos
Solución
En base a los datos obtenemos que:
Mediana: 7,5
Cuartil 1: 5,6
Cuartil 3: 8,8
RIC : 3,2
Las barreras son:
Barrera exterior inferior=Q1 - 3.0 RIC=5,6 - 3.0 (3,2)=-4,0
Barrera exterior superior=Q3 + 3.0 RIC=8,8 + 3.0 (3,2)=18,4
Barrera interior inferior=Q1 - 1.5 RIC=5,6 - 1.5 (3,2)=0,8
Barrera interior superior=Q3 + 1.5 RIC=8,8 + 1.5 (3,2)=13,6
La prueba de las barreras identifica dos valores atípicos
importantes, -24,6 y 20,5 y un posible valor atípico, -2,6.
( Una gráfica de los datos indica que los valores atípicos
importantes son obviamente valores extremos y que el valor dudoso
queda posiblemente excluído).
El gráfico de caja para este problema es el siguiente:
2) Los gráficos de caja son muy útiles para hacer
comparaciones, es por esto que se presenta la siguiente actividad
surgida a partir de las inquietudes de algunos alumnos.
Un grupo de alumnos solicitó realizar, utilizando el gráfico
de cajas, el estudio comparativo de las alturas de los jugadores
de basket-ball de la N.B.A. en diferentes décadas.
A partir de los datos buscados, se obtuvieron los siguientes resultados:
| |
1970
|
1980
|
1990
|
2005
|
|
Mediana
|
200,66
|
205,74
|
200,66
|
205,74
|
|
Cuartil I
|
194,95
|
202,56
|
198,12
|
198,12
|
|
Cuartil III
|
207,01
|
208,28
|
204,47
|
211,45
|
|
V. Máx
|
215,9
|
213,36
|
218,44
|
228,6
|
|
V. mín
|
187,96
|
185,42
|
187,96
|
182,88
|
|
Promedio
|
201,29
|
204,89
|
201,12
|
203,83
|
Es interesante destacar cómo a partir de un ejercicio no
visiblemente distinto a cualquier otro, y que por otra parte surgió
de los mismos alumnos, implicó un trabajo de investigación
no previsto. Como las alturas de los jugadores las buscaron en la
página web de la N.B.A., notaron de inmediato que no estaban
expresadas en metros si no que lo estaban en pies. Fue menester,
en primer lugar, buscar la conversión a centímetros.
Pero inmediatamente después hubo que analizar qué
sucedía con los valores no enteros. ¿utilizan un sistema
centesimal? Fue luego de varias discusiones, de búsquedas
y de cotejar con aquellos que conocían la altura de algunos
jugadores, que llegaron a la conversión correcta de pies
y pulgadas a centímetros.
Por otra parte, los alumnos habían supuesto a priori que
las estaturas de los jugadores tendían a ser mayores a medida
que pasaba el tiempo. Aunque Salzano (2002) afirma que las estaturas
tienden a aumentar, esto no quedó reflejado en el análisis
realizado por los alumnos.
5. Conclusiones
Los gráficos tiene como finalidad aclarar o facilitar la
comprensión del texto que acompañan, por lo cual favorecen
el aprendizaje.
Es conveniente, en la medida que avanzan en su escolaridad, ir
señalando las ventajas, desventajas y la información
que brindan cada tipo de gráfico.
Así, en un gráfico de tallo y hojas queda representado
cada uno de los valores sin la pérdida que significa agruparlos.
Un pictograma tiene una finalidad "casi decorativa", generalmente
dirigido a personas no especializadas con un fin de divulgación
o propaganda. Los gráficos de líneas son ideales para
representar la tendencia de datos durante un intervalo de tiempo
y uno de sectores puede utilizarse de manera efectiva para representar
los componentes de un total.
¿Cuál es la importancia entonces del uso de los gráficos
de caja?
En particular, los gráficos de caja vinculan los conceptos
de mediana, cuartiles, valor mínimo y máximo que los
alumnos manejan individualmente pero no en forma global.
6. Bibliografía
Alaminos, A. (1993). Gráficos. Cuadernos metodológicos
.Centro de Investigaciones Sociológicas. Madrid.
Freund, J. , Williams, F. y Perles, B. (1992).Estadística
para la Administración con enfoque moderno. Editorial
Prentice Hall Hispanoamericana. pp. 8 – 35, 76 – 77
Friel, S. , Curcio,F. y Bright, G. (2001).Making sense of Graphs:
critical factors, influencing comprensión y instructional
implication. Journal of Research in Mathematics Education. 32
(2), pp124 –158.
Hildebrand, D. y Lyman Ott,R. (1997). Estadística aplicada
a la administración y a la economía. Addison –
Wesley Iberoamericana.pp.36 - 37
Minnaard, V. , Minnaard, C. , Rabino, C. et al (2002). El uso
de las gráficas en la escuela: otro lenguaje de las ciencias.
Revista Iberoamericana de Educación . OEI.
Dirección en Internet: http://www.campus-oei.org/revista/experiencias34.htm
Salzano, F.M. y Bortolini, M. C. (2002). The evolution and genetics
of Latin American populations.Cambridge University Press. Cambridge.
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