Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza
DOI:
https://doi.org/10.35362/rie430751Palabras clave:
enseñanza de la matemática, fracaso escolar, sistema de numeraciónResumen
La enseñanza de la matemática ocupa un lugar estratégico en la trayectoria escolar diseñada por los currículos de todos los países. En el inicio de la formación matemática escolar, el sistema de numeración es el elemento clave. Este artículo analiza las maneras en que la enseñanza usual del sistema de numeración puede estar contribuyendo a la producción de fracaso escolar, y considera las condiciones que deben reunir las propuestas de enseñanza a fin de colocar a los niños en una posición de creciente dominio en esta herramienta cultural.
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Bibliografía
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Notas:
1) Desde hace muchos años se desarrolla en la Universidad de Buenos Aires un programa de investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración que ha tocado diferentes aspectos de este objeto en sucesivos períodos de trabajo. Históricamente dirigido por Delia Lerner, hoy es el Proyecto 2004-2007 X152: "El sistema de numeración: conceptualizaciones infantiles sobre la notación numérica para números naturales y decimales", dirigido por las autoras de este artículo. Aunque el mismo no es un informe de investigación, sus consideraciones encuentran fundamento en los desarrollos teóricos que el equipo de investigación lleva acumulados a lo largo de estos años.
2) SITEAL es la sigla de Sistemas de Información de Tendencias Educativas en América Latina, un programa que desarrollan en forma conjunta el Instituto Internacional de Planeamiento de la Educación - Buenos Aires (IIPE-UNESCO, Sede Regional Buenos Aires) y la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI). Este programa comenzó a funcionar a comienzos del año 2003 y está orientado a analizar la inequidad en el acceso y en los logros educativos de la población, así como el impacto de la educación en la calidad de vida de las familias y en la dinámica social. Para acceder a las producciones de SITEAL: http://www.siteal.iipe-oei.org
3) Países con un importante rezago educativo lograron progresos espectaculares en la escolarización de la población de 6 a 8 años: Brasil, por ejemplo, elevó la tasa de escolarización de ese grupo de edad de 75,4% en 1991 a 93,1% en el año 2001; Costa Rica la elevó de 78,6% en 1991 a 94,9% en 2000. Los países donde la escolarización primaria había alcanzado mejores niveles de cobertura también avanzaron, lógicamente a un ritmo menor; así, Chile pasó de 94,3% de tasa escolarización de su población de 6 a 8 años en 1990 a 97,9% en 2000, y México pasó de 90,9% en 2002 a 96,0% en 2000 (SITEAL, b, cuadro 2).
4) Considerar el fracaso escolar como fenómeno educativo no implica desconocer las relaciones que existen entre procesos y condiciones del entorno social y fracaso escolar; implica no renunciar a explicar "[...] de qué manera, bajo qué condiciones, por medio de qué mecanismos, específicamente pedagógicos, se produce dentro de las escuelas el fracaso de los niños" (Terigi y Baquero, 1997, p. 108, original en portugués, negrita en el texto fuente).
5) La conceptualización de los sistemas de representación está desarrollada en Ferreiro (1986).
6) Existe una amplia literatura en la que se ilustran los diferentes errores en la ejecución de los algoritmos clásicos. Véase, entre otros, Dickson, Brown y Gibson (1991), Resnick y Ford (1990) y Baroody (1988).
7) Recordemos lo planteado en el primer punto: el sistema es injusto aun con los que la escuela considera sin riesgo de fracaso, que avanzan en su escolaridad, porque -aunque esto no se advierte fácilmente- estos niños no comprenden lo que la escuela intenta enseñarles, y ello sucede en un tiempo en el que podrían estar abordando cuestiones que les permitieran ir descubriendo estos principios.
8) Cabe aclarar que cuestionar una concepción de enseñanza no significa que esa concepción sea un "error" de algunos, en todo caso es una construcción colectiva bastante difundida. Son los estudios epistemológicos, psicológicos y didácticos los que actualmente permiten este cuestionamiento y, al mismo tiempo, pensar una alternativa diferente.
9) Como ejemplo de abordaje del SN en toda su complejidad, podemos mencionar la situación "Juego de lotería" desarrollada en el programa de investigación. Esta secuencia de enseñanza se desarrolla en el inicio de primer grado de la escuela primaria y se encuadra dentro de situaciones centradas en el uso del SN y búsqueda de regularidades. Su objetivo didáctico es hacer avanzar las interpretaciones numéricas de los alumnos promoviendo la construcción de relaciones válidas desde el punto de vista de la organización del SN; la lotería ofrece la posibilidad de hacerlo en relación con un amplio sector de la serie que abarca los primeros noventa números. Puede consultarse Broitman y Kuperman (2005) y Quaranta, Tarasow y Wolman (2003).
10) En este sentido, la secuencia didáctica del "Juego de la lotería" mencionado está diseñada de manera tal que este juego se convierta en un problema para los alumnos, ya que se les propone interpretar escrituras numéricas, la mayoría desconocidas por ellos, y sin que medie explicación del docente acerca de cómo hacerlo. Para jugar a la lotería tal como se juega socialmente, alcanzaría con conocer el nombre de las cifras, de esta manera se podría decir "cuatro y tres" para "cuarenta y tres". En el diseño de la situación didáctica se agregan nuevas reglas de juego de acuerdo a los objetivos didácticos que perseguimos: debe decirse el nombre de los números; una vez "cantado" el número, éste no se muestra hasta tanto no haya sido buscado en los cartones por los participantes. Cuando los cantores no conocen el número los compañeros pueden ayudarlo dando "pistas", pero sin decir el nombre del número. Para jugar con estas nuevas reglas los niños necesitan aprender los nombres de los números y su escritura, y lo harán a través de alguna estrategia: apoyarse en los números ya conocidos, recurriendo a algún material que los contenga ordenados para poder encontrar el número en cuestión, contando desde el uno, etc.
Otra secuencia estudiada en nuestras investigaciones es "Mayoristas y minoristas". Se trata de que los alumnos completen un cuadro de doble entrada con precios de vestimenta de una fábrica y tres negocios minoristas que recargan a esos precios, respectivamente, 10, 20 y 30 pesos cada uno; es decir, el problema está centrado en la resolución de operaciones. En clases posteriores, se proponen minoristas que aumentan 10, 30 y 50 pesos, respectivamente. Una vez completado el cuadro con los precios correspondientes a los minoristas, el maestro organiza una segunda situación en la que conduce una discusión que apunta a reflexionar sobre los procedimientos utilizados, a retomar regularidades ya detectadas -o descubrir nuevas- entre las operaciones y los números escritos en el cuadro. En esta discusión se busca que los alumnos expliciten esas regularidades y reflexionen sobre ellas vinculándolas con las sumas (agregar nudos de decenas) y la organización del sistema de numeración. Desde la perspectiva didáctica, focalizar en la relación existente entre notación numérica y operaciones aritméticas constituye un escenario privilegiado para profundizar la comprensión del sistema de numeración.
11) Un ejemplo de estas variaciones es lo ocurrido con "la pista de los nudos" que consiste en suministrar como ayuda a los niños que no podrían leer convencionalmente un número, el nudo inmediatamente anterior y, en caso de que tampoco pudieran interpretarlo, anotar la serie de los nudos.
12) En esta perspectiva, avanzar del uso eficaz a la conceptualización supone un pasaje de un estado de menor conocimiento a otro de mayor conocimiento y, en tal sentido, se enrola con interrogantes básicos de la teoría genética.
ALVARADO, Mónica (2002): La construcción del sistema gráfico numérico en los momentos iniciales de la adquisición del sistema gráfico alfabético. Tesis doctoral. México: Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (DIE-CINVESTAV).
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Notas:
1) Desde hace muchos años se desarrolla en la Universidad de Buenos Aires un programa de investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración que ha tocado diferentes aspectos de este objeto en sucesivos períodos de trabajo. Históricamente dirigido por Delia Lerner, hoy es el Proyecto 2004-2007 X152: "El sistema de numeración: conceptualizaciones infantiles sobre la notación numérica para números naturales y decimales", dirigido por las autoras de este artículo. Aunque el mismo no es un informe de investigación, sus consideraciones encuentran fundamento en los desarrollos teóricos que el equipo de investigación lleva acumulados a lo largo de estos años.
2) SITEAL es la sigla de Sistemas de Información de Tendencias Educativas en América Latina, un programa que desarrollan en forma conjunta el Instituto Internacional de Planeamiento de la Educación - Buenos Aires (IIPE-UNESCO, Sede Regional Buenos Aires) y la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI). Este programa comenzó a funcionar a comienzos del año 2003 y está orientado a analizar la inequidad en el acceso y en los logros educativos de la población, así como el impacto de la educación en la calidad de vida de las familias y en la dinámica social. Para acceder a las producciones de SITEAL: http://www.siteal.iipe-oei.org
3) Países con un importante rezago educativo lograron progresos espectaculares en la escolarización de la población de 6 a 8 años: Brasil, por ejemplo, elevó la tasa de escolarización de ese grupo de edad de 75,4% en 1991 a 93,1% en el año 2001; Costa Rica la elevó de 78,6% en 1991 a 94,9% en 2000. Los países donde la escolarización primaria había alcanzado mejores niveles de cobertura también avanzaron, lógicamente a un ritmo menor; así, Chile pasó de 94,3% de tasa escolarización de su población de 6 a 8 años en 1990 a 97,9% en 2000, y México pasó de 90,9% en 2002 a 96,0% en 2000 (SITEAL, b, cuadro 2).
4) Considerar el fracaso escolar como fenómeno educativo no implica desconocer las relaciones que existen entre procesos y condiciones del entorno social y fracaso escolar; implica no renunciar a explicar "[...] de qué manera, bajo qué condiciones, por medio de qué mecanismos, específicamente pedagógicos, se produce dentro de las escuelas el fracaso de los niños" (Terigi y Baquero, 1997, p. 108, original en portugués, negrita en el texto fuente).
5) La conceptualización de los sistemas de representación está desarrollada en Ferreiro (1986).
6) Existe una amplia literatura en la que se ilustran los diferentes errores en la ejecución de los algoritmos clásicos. Véase, entre otros, Dickson, Brown y Gibson (1991), Resnick y Ford (1990) y Baroody (1988).
7) Recordemos lo planteado en el primer punto: el sistema es injusto aun con los que la escuela considera sin riesgo de fracaso, que avanzan en su escolaridad, porque -aunque esto no se advierte fácilmente- estos niños no comprenden lo que la escuela intenta enseñarles, y ello sucede en un tiempo en el que podrían estar abordando cuestiones que les permitieran ir descubriendo estos principios.
8) Cabe aclarar que cuestionar una concepción de enseñanza no significa que esa concepción sea un "error" de algunos, en todo caso es una construcción colectiva bastante difundida. Son los estudios epistemológicos, psicológicos y didácticos los que actualmente permiten este cuestionamiento y, al mismo tiempo, pensar una alternativa diferente.
9) Como ejemplo de abordaje del SN en toda su complejidad, podemos mencionar la situación "Juego de lotería" desarrollada en el programa de investigación. Esta secuencia de enseñanza se desarrolla en el inicio de primer grado de la escuela primaria y se encuadra dentro de situaciones centradas en el uso del SN y búsqueda de regularidades. Su objetivo didáctico es hacer avanzar las interpretaciones numéricas de los alumnos promoviendo la construcción de relaciones válidas desde el punto de vista de la organización del SN; la lotería ofrece la posibilidad de hacerlo en relación con un amplio sector de la serie que abarca los primeros noventa números. Puede consultarse Broitman y Kuperman (2005) y Quaranta, Tarasow y Wolman (2003).
10) En este sentido, la secuencia didáctica del "Juego de la lotería" mencionado está diseñada de manera tal que este juego se convierta en un problema para los alumnos, ya que se les propone interpretar escrituras numéricas, la mayoría desconocidas por ellos, y sin que medie explicación del docente acerca de cómo hacerlo. Para jugar a la lotería tal como se juega socialmente, alcanzaría con conocer el nombre de las cifras, de esta manera se podría decir "cuatro y tres" para "cuarenta y tres". En el diseño de la situación didáctica se agregan nuevas reglas de juego de acuerdo a los objetivos didácticos que perseguimos: debe decirse el nombre de los números; una vez "cantado" el número, éste no se muestra hasta tanto no haya sido buscado en los cartones por los participantes. Cuando los cantores no conocen el número los compañeros pueden ayudarlo dando "pistas", pero sin decir el nombre del número. Para jugar con estas nuevas reglas los niños necesitan aprender los nombres de los números y su escritura, y lo harán a través de alguna estrategia: apoyarse en los números ya conocidos, recurriendo a algún material que los contenga ordenados para poder encontrar el número en cuestión, contando desde el uno, etc.
Otra secuencia estudiada en nuestras investigaciones es "Mayoristas y minoristas". Se trata de que los alumnos completen un cuadro de doble entrada con precios de vestimenta de una fábrica y tres negocios minoristas que recargan a esos precios, respectivamente, 10, 20 y 30 pesos cada uno; es decir, el problema está centrado en la resolución de operaciones. En clases posteriores, se proponen minoristas que aumentan 10, 30 y 50 pesos, respectivamente. Una vez completado el cuadro con los precios correspondientes a los minoristas, el maestro organiza una segunda situación en la que conduce una discusión que apunta a reflexionar sobre los procedimientos utilizados, a retomar regularidades ya detectadas -o descubrir nuevas- entre las operaciones y los números escritos en el cuadro. En esta discusión se busca que los alumnos expliciten esas regularidades y reflexionen sobre ellas vinculándolas con las sumas (agregar nudos de decenas) y la organización del sistema de numeración. Desde la perspectiva didáctica, focalizar en la relación existente entre notación numérica y operaciones aritméticas constituye un escenario privilegiado para profundizar la comprensión del sistema de numeración.
11) Un ejemplo de estas variaciones es lo ocurrido con "la pista de los nudos" que consiste en suministrar como ayuda a los niños que no podrían leer convencionalmente un número, el nudo inmediatamente anterior y, en caso de que tampoco pudieran interpretarlo, anotar la serie de los nudos.
12) En esta perspectiva, avanzar del uso eficaz a la conceptualización supone un pasaje de un estado de menor conocimiento a otro de mayor conocimiento y, en tal sentido, se enrola con interrogantes básicos de la teoría genética.
Cómo citar
Terigi, F., & Wolman, S. (2007). Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza. Revista Iberoamericana De Educación, 43, 59–83. https://doi.org/10.35362/rie430751
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01-01-2007
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