La enseñanza de la multiplicación aritmética: una barrera epistemológica
DOI:
https://doi.org/10.35362/rie430754Resumo
A aprendizagem da matemática na educação primária necessita incorporar um significado que dote de fundamento epistemológico o conhecimento adquirido. Quando buscamos esse significado para um conceito matemático, corremos o risco de desnaturalizar os princípios científicos que dão sentido ao conceito, neste caso, na estrutura matemática.
Ao expressar, nos procedimentos didáticos, a multiplicação aritmética como soma de parcelas iguais, arriscamos a compreensão do conceito em sua autêntica ortodoxia. Neste artigo, apresentam-se razões que se apóiam fundamentalmente em erros cometidos pelos escolares. Para finalizar, sugere-se um procedimento para a intervenção educativa no ensino da multiplicação.
Downloads
Referências
BIBLIOGRAFÍA
BEAUVERD, B. (1967): "Avant le calcul", en Cahiers de Pédagogie Expérimentale et de Psychologie de l´Enfant, n.º 21. Neuchâtel: Delachaux et Niestlé.
BERNAT, P. (1993): "Chypre: un logiciel d'aide au raisonnement", en Repères-IREM (Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques), n.º 10. Pont à Mousson: Topiques éditions, pp. 25-46.
BIEHLER, R. y OTROS (eds.) (1994): Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
CANTORAL, R. y FARFÁN, R. M. (2003): "Matemática educativa: una visión de su evolución", en Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (Relime), vol. 6, n.º 1, marzo, pp. 27-40.
CHEVALLARD, Y. (1992): "Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique", en Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 12, n.º 1, pp. 73-111.
D'AMORE, B. (1999): Elementi di didattica della matematica. Bologna: Pitagora Editrice.
DOUADY, R. (1995): "La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el conocimiento", en P. Gómez (ed.): Ingeniería didáctica en educación matemática. Colombia: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 61-96.
FERNÁNDEZ BRAVO, A. (2003): La numeración y las cuatro operaciones matemáticas. Madrid: Central Catequética Salesiana (CCS).
HIDALGO ALONSO, S., MAROTO SÁEZ, A. y PALACIOS PICOS, A. (1999): "Evolución de las destrezas básicas para el cálculo y su influencia en el rendimiento escolar en matemáticas", en Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, n.º 30, pp. 37-45.
HITT, F. (1998): "Matemática educativa: investigación y desarrollo 1975-1997", en F. Hitt (ed.): Investigaciones en Matemática Educativa II. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 41-65.
SÁNCHEZ B., C. H. (2005): "Anotaciones para la historia de las matemáticas en Antioquia", en Lecturas Matemáticas, vol. 26, n.º 1, pp. 91-105.
YÁÑEZ CANAL, S. (2005): "35 años de la carrera de matemáticas", en Lecturas Matemáticas, vol. 26, pp. 107-110.
WITTGENSTEIN, L. y OTROS (1987): Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Madrid: Alianza.
Notas:
1) Citado por Beauverd (1967, p. 48). Traducción: «La composición multiplicativa de los números se constituye sobre el plan operatorio al mismo tiempo que la de clases (conjunto de unidades). No hay un estadio de la multiplicación lógica y un estadio de la multiplicación aritmética; tan pronto es descubierta esa capacidad se generaliza inmediatamente».
2) «Dotar la investigación de una aproximación sistémica y situada, que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza.» R. Cantoral y R. M. Farfán (2003, p. 36).
3) Parece que nos hubiéramos quedado en Egipto y la Mesopotamia. En Egipto la operación aritmética fundamental era la suma y la multiplicación se hacía por sucesivas duplicaciones. Seguimos utilizando hoy esa acepción de «múltiple» sin profundizar en el sentido y significado matemático actual de esta operación. En la Mesopotamia hacían uso de muchas tablas, entre las que había tablas de multiplicar y el uso que de éstas hacían los escribas tenía como función principal el cálculo rápido y no la intencionalidad del recuerdo memorístico de resultados.
4) Cuántas veces he soñado con un grupo de buenos profesores, que presenten, encaminen, traten y sugieran. Quizás algún día podamos reescribir desde un punto de vista didáctico estas palabras de Sergio Yáñez (2005, p.108): «En esas épocas de múltiples agitaciones, cuando se leía y se hablaba de psicoanálisis, de Marx, de Platón y Aristóteles, de Balzac, Dostoievski y Thomas Mann, de Foucault, Althouser y muchos otros, apareció el nombre de Nicolás Bourbaki, seudónimo de un grupo de los mejores matemáticos de la época que pretendían redactar un tratado que presentara en forma axiomática el cuerpo esencial de la matemática contemporánea».
5) «Las matemáticas están en evolución constante, son una herramienta, una necesidad. El espíritu matemático en el desarrollo del pensum y el espíritu filosófico en el aprendizaje eran actitudes indispensables en una orientación meditada de la Escuela.» (Santamaría, citado por C. H. Sánchez B., 2005, p. 97).
6) Utilizando palabras de Wittgenstein (1987).
7) Esta explicación sirve para dar significado a expresiones matemáticas de la forma: a x b, con dos factores. Las expresiones: a x b x c, precisan de tres universos y dos relaciones constantes (a, b y b, c); y así, sucesivamente, en función del número de factores. Cuando el número tomado por la relación constante es el mismo y coincide con el número de elementos del universo, trabajamos con el significado epistemológico del concepto matemático de potencia: a x a x a x a.
BEAUVERD, B. (1967): "Avant le calcul", en Cahiers de Pédagogie Expérimentale et de Psychologie de l´Enfant, n.º 21. Neuchâtel: Delachaux et Niestlé.
BERNAT, P. (1993): "Chypre: un logiciel d'aide au raisonnement", en Repères-IREM (Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques), n.º 10. Pont à Mousson: Topiques éditions, pp. 25-46.
BIEHLER, R. y OTROS (eds.) (1994): Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
CANTORAL, R. y FARFÁN, R. M. (2003): "Matemática educativa: una visión de su evolución", en Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (Relime), vol. 6, n.º 1, marzo, pp. 27-40.
CHEVALLARD, Y. (1992): "Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique", en Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 12, n.º 1, pp. 73-111.
D'AMORE, B. (1999): Elementi di didattica della matematica. Bologna: Pitagora Editrice.
DOUADY, R. (1995): "La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el conocimiento", en P. Gómez (ed.): Ingeniería didáctica en educación matemática. Colombia: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 61-96.
FERNÁNDEZ BRAVO, A. (2003): La numeración y las cuatro operaciones matemáticas. Madrid: Central Catequética Salesiana (CCS).
HIDALGO ALONSO, S., MAROTO SÁEZ, A. y PALACIOS PICOS, A. (1999): "Evolución de las destrezas básicas para el cálculo y su influencia en el rendimiento escolar en matemáticas", en Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, n.º 30, pp. 37-45.
HITT, F. (1998): "Matemática educativa: investigación y desarrollo 1975-1997", en F. Hitt (ed.): Investigaciones en Matemática Educativa II. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 41-65.
SÁNCHEZ B., C. H. (2005): "Anotaciones para la historia de las matemáticas en Antioquia", en Lecturas Matemáticas, vol. 26, n.º 1, pp. 91-105.
YÁÑEZ CANAL, S. (2005): "35 años de la carrera de matemáticas", en Lecturas Matemáticas, vol. 26, pp. 107-110.
WITTGENSTEIN, L. y OTROS (1987): Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Madrid: Alianza.
Notas:
1) Citado por Beauverd (1967, p. 48). Traducción: «La composición multiplicativa de los números se constituye sobre el plan operatorio al mismo tiempo que la de clases (conjunto de unidades). No hay un estadio de la multiplicación lógica y un estadio de la multiplicación aritmética; tan pronto es descubierta esa capacidad se generaliza inmediatamente».
2) «Dotar la investigación de una aproximación sistémica y situada, que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza.» R. Cantoral y R. M. Farfán (2003, p. 36).
3) Parece que nos hubiéramos quedado en Egipto y la Mesopotamia. En Egipto la operación aritmética fundamental era la suma y la multiplicación se hacía por sucesivas duplicaciones. Seguimos utilizando hoy esa acepción de «múltiple» sin profundizar en el sentido y significado matemático actual de esta operación. En la Mesopotamia hacían uso de muchas tablas, entre las que había tablas de multiplicar y el uso que de éstas hacían los escribas tenía como función principal el cálculo rápido y no la intencionalidad del recuerdo memorístico de resultados.
4) Cuántas veces he soñado con un grupo de buenos profesores, que presenten, encaminen, traten y sugieran. Quizás algún día podamos reescribir desde un punto de vista didáctico estas palabras de Sergio Yáñez (2005, p.108): «En esas épocas de múltiples agitaciones, cuando se leía y se hablaba de psicoanálisis, de Marx, de Platón y Aristóteles, de Balzac, Dostoievski y Thomas Mann, de Foucault, Althouser y muchos otros, apareció el nombre de Nicolás Bourbaki, seudónimo de un grupo de los mejores matemáticos de la época que pretendían redactar un tratado que presentara en forma axiomática el cuerpo esencial de la matemática contemporánea».
5) «Las matemáticas están en evolución constante, son una herramienta, una necesidad. El espíritu matemático en el desarrollo del pensum y el espíritu filosófico en el aprendizaje eran actitudes indispensables en una orientación meditada de la Escuela.» (Santamaría, citado por C. H. Sánchez B., 2005, p. 97).
6) Utilizando palabras de Wittgenstein (1987).
7) Esta explicación sirve para dar significado a expresiones matemáticas de la forma: a x b, con dos factores. Las expresiones: a x b x c, precisan de tres universos y dos relaciones constantes (a, b y b, c); y así, sucesivamente, en función del número de factores. Cuando el número tomado por la relación constante es el mismo y coincide con el número de elementos del universo, trabajamos con el significado epistemológico del concepto matemático de potencia: a x a x a x a.
Como Citar
Fernández Bravo, J. A. (2007). La enseñanza de la multiplicación aritmética: una barrera epistemológica. Revista Ibero-Americana De Educação, 43, 119–130. https://doi.org/10.35362/rie430754
Publicado
2007-01-01
Edição
Seção
Artigos do monográfico
Licença
Os(as) autores(as) que publiquem nesta revista concordam com os seguintes termos:
